Елементи лінійної алгебри

1.1. Довести сумісність даної системи лінійних рівнянь і розв’язати її двома способами:

1) За допомогою правила Крамера

2) Засобами матричного числення

1) Для того, щоб довести сумісність системи лінійних рівнянь і розв’язати її за допомогою правила Крамера, необхідно знайти визначник матриці, елементами якої є коефіцієнти при невідомих (головний визначник системи), а також допоміжні визначники, одержані із головного визначника, заміною і –го стовпчика стовпцем вільних членів. Після цього проводиться аналіз:

а) Якщо то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулою:

б) Якщо і - система несумісна або має безліч розв’язків, для знаходження відповіді необхідні додаткові дослідження.

Знайдемо головний і допоміжні визначники системи:

,

Оскільки система сумісна і має один розв’язок.

Використавши формулу , знайдемо всі невідомі:

Виконаємо перевірку, підставивши отримані значення змінних у початкову систему:

Отже, - розв’язок заданої системи рівнянь.

2) Розв’язування системи лінійних рівнянь засобами матричного числення зводиться до знаходження , де Х – матриця невідомих, В – матриця вільних членів, - матриця, обернена до А: .

Обернена матриця знаходиться наступним чином:

1. Перевіряємо, чи є матриця невиродженою ();

2. Складаємо союзну матрицю, елементами якої є алгебраїчні доповнення елементів матриці А

3. Транспонуємо союзну матрицю

4. Кожний елемент утвореної матриці ділимо на значення визначника.

Знайдемо обернену до А матрицю:

, тобто матриця є невиродженою, отже, для неї можна знайти обернену.

Запишемо алгебраїчні доповнення до кожного з елементів матриці А:

Використовуючи формулу , знайдемо матрицю Х:

Виконаємо перевірку:

Перевірка показала, що матриця є єдиним розв’язком даної системи рівнянь.

Відповідь: