I Действительные числа

Множество натуральных чисел N ={1, 2, 3, ….}

Множество целых чисел Z = {0, ±1,±2, …. }

Множество рациональных чисел, имеющих вид , где m – целое, n – натуральное. Числа, которые нельзя представить в виде , называются иррациональными.

Примером иррационального числа, например, является . Покажем, что .

Доказательство проведем методом от противного.

Пусть = - несократимая дробь.

2 = / , 2 = , отсюда m = 2k – четное

2 = 4 , = 2 , следовательно

n – четное, n = 2 , то есть дробь = - сократимая, что противоречит условию.

Заметим, что иррациональность приписывают еще Пифагору, который доказал несоизмеримость стороны квадрата с его диагональю.

Объединение рациональных и иррациональных чисел и есть множество действительных чисел, которое будем обозначать R.

Существенный вклад в содержание понятия действительного числа внес Декарт, он выразил числа посредством длин и получил геометрическое определение множества действительных чисел.

Итак, представим прямую, на которой выбрана точка отсчета 0, которая будет соответствовать числу нуль, а точка расположена правее и соответствует числу один, то есть мы задали масштаб на этой прямой.

Справа от точки 0 будут располагаться положительные числа, слева – отрицательные.

Пусть надо изобразить число , тогда есть две возможности: либо оно попадет между точками , либо попадет между точками и .

Значит, в этом числе есть целых единиц. Внедрение десятичной системы счисления фактически содержит в себе алгоритм приближения к действительному числу. Разделим отрезок , ] на десять равных частей.

, , , …… = . Если точка совпадает из точек (), то точке соответствует положительное рациональное число .

Если же попадет в интервал (), то разделим его на 10 равных частей и так далее. Пусть процесс этот конечен, тогда точке соответствует рациональное число, если же процесс бесконечен, то иррациональное число. (либо рациональное, если комбинация чисел повторяется)

Введем понятие абсолютной величины действительного число

| =

Перечислим основные свойства

1)

2)

3)

4) |