Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

1°. Уравнение, содержащее только :

Это уравнение имеет общий интеграл

П. 11.1

Общий интеграл уравнения

П. 11.2

Общий интеграл уравнения

2°. Уравнение, не содержащее искомой функции:

(11.1)

Рассмотрим два случая.

1. Уравнение (11.1) разрешимо относительно

Пусть оно определяет m значений :

.

Тогда, интегрируя, получаем:

П. 11.3

Интегрируя, получаемдва семейства кривых:

2. Уравнение (11.1) не разрешимо (в элементарных функциях) относительно но допускает параметрическое представление:

Так как то Интегрируя, найдем:

Таким образом, получаем общее решение в параметрической форме:

П. 11.4

Полагаем тогда Далее,

Т. о., общее решение

П. 11.5

Вначале сделаем замену

Так как

Поэтому (ввели под

знак дифференциала t ² и сделали замену z=t³ ). Преобразуем дробь .

,

Т. о., общее решение

3°. Уравнение, не содержащее независимой переменной:

(11.2)

Рассмотрим два случая.

1. Уравнение (11.2) разрешимо относительно

Тогда

П. 11.6

Разрешаем уравнение относительно

Интегрируя, находим общее решение

и

2.Уравнение (11.2) не разрешимо (в элементарных функциях) относительно но допускает параметрическое представление:

Тогда

Общее решение в параметрической форме:

П. 11.7

Полагаем Тогда

Общее решение в параметрической форме:

3°. Уравнение Лагранжа:

Положим тогда Считаем, что

Поэтому или

1). тогда Получили линейное уравнение. Пусть его решение Тогда общее решение можно записать в пара-метрической форме:

2). пусть корни этого уравнения, тогда получаем: . Эти прямые линии могут оказаться осо-быми решениями уравнения Лагранжа.

П. 11.8

Делаем замену тогда

Делаем замену

Таким образом, общее решение в пара-метрической форме:

4°. Уравнение Клеро:

Делаем замену тогда

Далее

Уравнение распадается на два:

Из первого уравнения следует, что p=c и, значит, Это семейство прямых линий является общим решением.

Уравнение вместе с уравнением доставляют ре-шение уравнения Клеро в параметрической форме:

которое обычно является особым решением, причем оно заведомо будет особым, если сохраняет знак.

П. 11.9

Делаем замену тогда Уравнение распадается на два: Общее решение: Из второго уравнения находим:

Исключая параметр p, получаем особое решение в явном виде:

П. 11.10

Делаем замену тогда

Общее решение: Далее,

Исключая из этих урав-нений параметр p, находим особое решение в виде