Теоретический материал. Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число

Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей.

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Представление комплексного числа в виде , где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Произведение комплексных чисел и находится по формуле:

то есть

, .

Таким образом, при умножении двух комплексных числе, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Частное комплексных чисел и находится по формуле:

,

то есть

, .

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, аргументы вычитаются.

При возведении комплексного числа в -ую степень используется формула

,

которая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня -ой степени из комплексного числа используется формула

,

где - арифметический корень, .

Степень с комплексным показателем определяется равенством

.

Можно доказать, что

,

то есть

. (1)

В частности, при получается соотношение

,

которое называется формулой Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при возведении в степень – перемножаются.

Показательная функция имеет период, равный , то есть . В частности, при получается соотношение .

Тригонометрическую форму комплексного числа можно заменить показательной формой: .

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

;

;

;

, где .