Практическое занятие №3. Тема: Решение систем алгебраических уравнений по правилу Крамера и матричным методом

Тема: Решение систем алгебраических уравнений по правилу Крамера и матричным методом

Цель: Формирование навыков решения СЛАУ по правилу Крамера и матричным методом.

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Пример

Задание: Показать, что система имеет единственное решение и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом.

Решение: Данная система имеет размер (три уравнения и три неизвестных). Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных:

. Матрица квадратная . Вычислим определитель матрицы , используя формулу его разложения по элементам первой строки:

.

Так как определитель системы , то данная система имеет единственное решение. Это решение можно найти по правилу Крамера: ; ; , где - главный определитель системы; , , - вспомогательные определители, которые получаются из главного путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов, и вычисляются аналогично определителю .

;

;

Отсюда по правилу Крамера имеем:

; ;

.

Решение системы единственно, это совокупность чисел .

Проверка: Подставим найденное решение во все уравнения исходной системы линейных алгебраических уравнений.

Так как все уравнения системы обратились в равенства, то решение найдено верно.

Ответ: .

Решим данную систему матричным способом. Рассмотрим матрицы:

; ; ;

- матрица коэффициентов при неизвестных, - матрица – столбец неизвестных, - матрица – столбец свободных членов.

Данную систему можно записать в виде:

;

При умножении матриц каждая строка матрицы умножается на столбец матрицы и в результате получается соответствующий элемент матрицы . Таким образом, последняя матричная запись содержит все три уравнения данной системы линейных алгебраических уравнений. Коротко ее можно записать так:

(1)

Рассмотрим матрицу , обратную к матрице . Это такая матрица, которая при умножении на данную матрицу дает единичную матрицу : , где .

Умножая обе части матричного равенства (2) на матрицу слева, получим:

,

, и окончательно имеем:

(2)

Формула (2) используется для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений. Предварительно нужно вычислить обратную матрицу. Обратная матрица вычисляется по формуле: (3), где - алгебраическое дополнение всех элементов матрицы ,

- главный определитель системы .

В нашем примере .

Найдем теперь алгебраические дополнения для всех элементов матрицы :

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируем ее, то есть поменяем местами столбцы и строки с одинаковыми номерами:

.

Обратную матрицу получим по формуле (3), умножая каждый элемент последней матрицы на число, равное :

.

Решение системы линейных алгебраических уравнений находим по формуле (2) умножением матрицы на матрицу свободных членов :

=

Отсюда следует, что , , .

Найденное решение было проверено выше, и совпадает с результатом, полученным по правилу Крамера.

Ответ: - единственное решение системы.