Алгебра и теория чисел

1. Основные алгебраические структуры (аддитивная и мультипликативная группы, кольца, поля: определения и примеры).

2. Делимость в кольце целых чисел (определение делимости; теорема о делении с остатком; алгоритм Евклида; нахождение наибольшего общего делителя двух целых чисел с помощью алгоритма Евклида; связь наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух натуральных чисел; разложение натурального числа на простые множители и его единственность (основная теорема арифметики)).

3. Кольцо классов вычетов (определение сравнимости двух целых чисел по натуральному модулю; свойства сравнений; классы вычетов; операции на классах вычетов; кольцо классов вычетов).

4. Поле комплексных чисел (операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах; формула Муавра; извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме; извлечение корня n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме).

5. Определители (формула определителя квадратной матрицы; вычисление определителей малых порядков; вычисление определителя разложением по строке (столбцу); теорема об определителе произведения матриц; обратимые матрицы; вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений).

6. Системы линейных уравнений (совместные, несовместные и равносильные системы; критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли); крамеровская система; правило Крамера и матричный метод решения крамеровских систем; однородная система линейных уравнений; условия существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений).

7. Кольцо многочленов от одной переменной (теорема о делении с остатком, алгоритм Евклида и нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов с его помощью; корни многочленов; теорема Безу; основная теорема алгебры комплексных чисел (теорема Гаусса) и её следствия; комплексные корни многочленов с действительными коэффициентами).

8. Векторное пространство над полем, примеры (понятие подпространства; линейная зависимость векторов; базис векторного пространства; понятие размерности; координаты вектора; евклидовы и унитарные пространства; длина вектора; теорема Коши-Буняковского; ортонормированные базисы).

9. Линейные отображения (ядро и образ линейного отображения; ранг и дефект линейного оператора, примеры; матрица линейного оператора; собственные векторы и собственные значения линейных операторов; ортогональные и самосопряженные линейные операторы; теорема об ортогональных и самосопряженных линейных операторах).

10. Квадратичные формы (преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных; канонический вид квадратичной формы; закон инерции квадратичных форм (индекс инерции квадратичных форм); нормальный вид действительных и комплексных квадратичных форм; положительный и отрицательный индексы инерции действительных квадратичных форм; положительно определенные квадратичные формы).