Математический анализ. Г о с у д а р с т в е н н о г о э к з а м е н а

П Р О Г Р А М М А

Г о с у д а р с т в е н н о г о э к з а м е н а

по специальности 1-31 03 01 «Математика»

Программа утверждена Советом

математического факультета

Протокол № 7

от ““ 2013 г.

Декан математического факультета

___________ С.П.ЖОГАЛЬ

Гомель 2013

На государственном экзамене выпускник должен продемонстрировать умение систематизировать информационные сведения программы экзамена, знание основных теорем и понятий, понимание взаимосвязей между ними, умение ими пользоваться.

С учетом этих требований экзаменующийся по каждому вопросу билета должен сделать обзор материала, соответствующего формулировке вопросов, сопровождая ответ доказательством отдельных теорем.

Математический анализ

1. Числа натуральные, рациональные и действительные. Полнота множества действительных чисел.

2. Последовательности и их сходимость (сходящиеся последовательности в топологическом пространстве; сходящиеся последовательности действительных чисел; теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности; свойства последовательностей действительных чисел, связанные с арифметическими операциями над последовательностями).

3. Числовые ряды (сходимость числовых рядов; сходимость рядов с неотрицательными членами, признаки их сходимости; абсолютно сходящиеся ряды, их свойства; условно сходящиеся ряды).

4. Производная функции в точке. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.

5. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора.

6. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

7. Интеграл Римана (определение, существование, свойства; дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу). Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

8. Дифференцируемость функций нескольких переменных (частные производные и дифференциалы функций многих переменных; необходимые условия дифференцируемости функций многих переменных; достаточные условия дифференцируемости).

9. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.

10. Производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Необходимые условия экстремума функции многих переменных.

11. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов; признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).

12. Двойной интеграл Римана (сведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле; кратные интегралы).

13. Криволинейные интегралы (формула Грина; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути).

14. Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского. Формула Стокса.