Функциональный анализ и интегральные уравнения

1. Пусть m – мера Лебега на R. Найти

, где D(x) – функция Дирихле, - характеристическая функция множества А, m – мера Лебега.

1. Проверить, является ли последовательность точек метрического пространства С[0;1] сходящейся, фундаментальной.

1. Является ли оператор , действующий по формуле

Ax = (x₂, x₃, …, x_n, …) линейным, ограниченным? Если да, то найти его норму.

1. Пусть оператор действует по формуле Ax = (x₁, x₂, 5x₃,0,…). Найти спектр этого оператора.

5. Найти сопряжённый оператор к оператору

A: L [0;1] L [0;1], (Ax)(t) = .

1. Определить, при каких значениях L [0;1] уравнение

имеет решение в пространстве L [0;1].

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он будет тащить первым или вторым?

2. Среди 25 экзаменационных билетов 5 "хороших". Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность следующих событий:

A = {первый студент взял "хороший" билет};

В = {второй студент взял "хороший" билет};

C = {оба студента взяли "хорошие" билеты}.

3. На отрезок АВ длины 3 наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем 2, а три – на расстоянии, большем 2.

4. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. На удачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных деталей среди отобранных.

5. Плотность распределения вероятностей абсолютно непрерывной случайной величины имеет форму

Найти константу с, функцию распределения и дисперсию .