На рисунке А\В заштриховано

Например, А = {1, 2, 3, 4}; В = {3, 4, 5, 6},

А\В = {х/х Î А и х Ï В} = {1,2},

В\А= {х/х Î В и х Ï А} = {5,6}.

Очевидно, что х Ï А\В тогда и только тогда, когда х Ï А или х Î (А Ç В).

Для любых множеств А, В и С справедливы следующие раве­нства, связывающие вычитание множеств с другими операциями над множествами:

а) А\(В È С) = (А\В) Ç (А\С);

б) А\(В Ç С)= (А\В) È(А\С).

____________________________________________________________

Определение 8. Если В подмножество А, то разность А\В назы­вают дополнением к подмножеству В и обозначают В'_А.

_________________________________________________________________________________________

Таким образом, В Ì А, А\В = В'_А.

На рисунке множество В'_А заштриховано.

Так, если А – множество учащихся в некотором классе, а В – мно­жество девочек в нем, то В'_А есть множество мальчиков в этом классе.

Если для множеств А, В,... фиксировано некоторое универсаль­ное множество И, то вместо А' _и , В' _ипишут А', В',...

Очевидно, что х Ï А', тогда и только тогда, когда х Î А или х Ï И.

Для любых подмножеств А и В универсального множества И име­ют место следующие равенства:

1) (А Ç В) ' = А ' È В '

2) (А È В) ' = А ' Ç В '

Задача 1

1. Множество А – множество натуральных делителей числа 6. За­дать множество: а) перечислением элементов, б) графически, в) с по­мощью характеристического свойства.

2. Изобразить множество В = {х/х Î R, 1 £ х < 3, 5} на числовой прямой.

Решение.

1. Множество А задано словесно – множество натуральных дели­телей числа 6, т.е. множество натуральных чисел, на которые число 6 делится без остатка (6 х).

а) А = {1, 2, 3, 6};

б)

в)А = {х/х Î N, 6 х }.

2. Множество В задано с помощью характеристического свойства. Перейти к заданию множества В в виде промежутка и изобразить на числовой прямой.

В ={ х/х ÎR,1£ х < 3,5} = [1; 3,5)

Задача 2.

Проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера высказывания:

а) некоторые нечетные натуральные числа кратны 5;

б) все студенты нашего курса присутствовали на лекции по математике.

Решение.

Выделим множества, о которых идет речь в данных высказываниях:

а) пусть А – множество нечетных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, кратных 5.

В данном высказывании говорится, что некоторые элементы множества А являются и элементами множества В (например, 5, 15), т.е. множества А и В имеют общие элементы. Но в каждом множестве есть элементы, не принадлежащие другому.

Поэтому круги для множеств А и В надо изобразить так, чтобы они пересекались друг с другом (рис. 4).

Рис.4 Рис.5

б) Пусть D– множество студентов курса, C – множество студен­тов, присутствовавших на лекции по математике.

В данном высказывании утверждается, что каждый элемент мно­жества С является и элементом множества Д (все элементы множес­тва С принадлежат множеству Д). По определению отношения вклю­чения, это означает, что С Ì Д. Поэтому круг для множества С распо­ложен внутри круга для множества Д (рис. 5).

Задача 3.

1. Проверить, является ли одно из множеств А и В подмножеством
другого.

А = { х/х Î N,х 4 } ;В= { х/х Î N, х 2 }.

2. Определить отношения между множествами, изобразить множества с помощью кругов Эйлера:

А = { х/х Î N, х 9}; В = { х/х Î N, х 3}; С = { х/х Î N, х 6}.

Решение.

1) Можно записать:

А = {4, 8, 12, 16,...}, В= {2,4, 8, 10, 12, 14, 16,...}.

Докажем, что А Ì В. Согласно определению подмножества надо доказать, что любой элемент множества А принадлежит множеству В. Пусть а Î А, следовательно, а – натуральное и а 4, а это значит всегда а 2, поэтому а Î В. Множество В не является подмножеством А, так как из того что b 2 не всегда следует, что b 4.

Пример: 6: 2, но 6 не: 4.

2) Надо выяснить, какое из множеств будет подмножеством другого, или какие из них совпадают.

Можно записать:

А ={9, 18,27,36,...};

В= {0,3,6,9, 12, 15, 18,21,24,27,...};

С= {6, 12,18,24,...}.

Любой элемент множества А принадлежит и множеству В, т.к. любое натуральное число, кратное 9, кратно 3, А Ì В.

Любой элемент из множества С принадлежит и множеству В, т.к. любое натуральное число, кратное 6, будет кратно 3, С Ì В.

Множества А и С имеют общие элементы, например 18, но и каждое из них имеет элементы, не принадлежащие другому. 9 Î А, но 9 Ï С; 12 Î С, но 12 Ï А. Круги для множеств А и С пересекаются, но оба они внутри круга для множества В (рис. 6).

Рис. 6

Задача 4

Пусть А – множество четырехугольников плоскости, В – множество прямоугольников, С – множество ромбов, Д – множество четырехугольников, имеющих прямой угол.

1) Задать множество Х=Д' Ç С словесным способом.

2) Изобразить множества А, В, С, Д кругами Эйлера и заштриховать область, изображающую множество X.

3) Выяснить, истинны ли высказывания:

MNLK Î X и FSQP Î X

N L S Q

M K F P

1) Решение

Для совокупности множеств А, В, С, Д множество А можно считать универсальным, т.к. множества В, С, Д являются подмножествами множества А.

Д'– дополнение множества Д до универсального, т.е. до множества А.

Д'– множество четырехугольников, не имеющих прямого угла.

Д' Ç С – пересечение множеств Д и С, это множество четырехугольников, не имеющих прямого угла и являющихся ромбами. Так как ромб, имеющий прямой угол, это квадрат, то получаем:

Х = Д' Ç С - множество ромбов, не являющихся квадратами.

2) А – универсальное множество, изображаем его в виде прямоугольника. Круги для множеств В,Д,С- внутри прямоугольника. Круги для множеств В и С пересекаются, т.к. есть прямоугольники, являющиеся ромбами, – квадраты. Круг для множества В внутри круга для множества Д, т.к. В Ì Д.

Д' – заштрихуем горизонтальной штриховкой,

С – заштрихуем вертикальной штриховкой,

Х = Д' Ç С – та часть, которая заштрихована дважды.

3) МNLК Î Х - ложное высказывание,

FSQP Î Х – истинное высказывание.

Задача 5

Найти А È В, А Ç В, А\В, В\А, и А', если И = К, А = [-2, 8 ]; В= [0,9].

Из рисунка видим:

АÈВ = [-2,9],

А Ç В = [0,8],

А\В = [-2, 0), (0 Ï А\В, т.к. 0 Î А и 0 Î В),

В\А = (8, 9], (8 Ï В\А, т.к. 8 Î А),

А¹ = (-¥, - 2) È (8, + ¥).

Задача 6

1) Доказать, что для любых множеств А, В, С верно равенство А\(В È С) = (А\В) Ç (А\С).

2) Проиллюстрировать это равенство геометрически.

Решение.

1) Обозначим: М = А\(В È С), К = (А\В) Ç (А\С). Для доказательства равенства М = К достаточно доказать утверждения:

а) М Ì К, т.е. для любого х, если х Î М, то х Î К;

б) К Ì М, т.е. для любого х, если х Î К, то х Î М.

в) Пусть любое х Î А\(В È С). По определению разности двух множеств х Î А и х Ï (В È С). Если бы х принадлежал хотя бы одному и множеств В и С, то, по определению объединения, х принадлежал бы В È С. Поэтому из того, что х Ï В È С, следует, что х Ï В и х Ï С. Так как х Î А и х Ï В, то х Î А\В. Так как х Î А и х Ï С, то х Î А\С. По определению пересечения множеств, х Î (А\В) Ç (А\С).

г) Пусть любое х Î (А\В) Ç (А \С). По определению пересечения множеств, х Î А\В и х Î А\С. По определению разности множеств х Î А, x ÏВ, x Ï С. Тогда х Ï В È С. А так как х Î А и х Ï В È С, то x Î А \ (В È С).

Вывод: М Ì К и К Ì М, тогда М = К.

2) Изобразим множества А, В и С. Сделаем два одинаковых рисунка, на одном выделим множество М, на другом множество К.

Наклонной штриховкой обозначено множество В È С. Двойной штриховкой обозначено тожество М =А\(В È С)
Вертикальной штрихов­кой обозначено А\В, горизон­тальной А\С. Двойной штри­ховкой обозначено множество К = (А\В) Ç (А\С)

Контрольные вопросы

1. Как записать, что элемент а принадлежит множеству А? Не при­надлежит множеству А?

2. Какими способами можно задать множество? Привести примеры. Задать различными способами множество всех натуральных чи­сел, меньших 10.

3. Прочтите следующие предложения: а Î А,а Ï А, А Ì В, А Ë В.

4. Как проверить, что одно множество является подмножеством другого? Верно ли, что А подмножество В, где А = { а/а Î Z, а 12}, В = { b/b Î Z, b 4}?

5. Какое множество называют пустым? Как его обозначают? Объяс­ните, почему Æ ¹{Æ}?

6. Какое подмножество называют собственным?
Привести примеры.

7. Сформулировать определение объединения, пересечения и разности двух множеств. Привести примеры. Дать геометрическое истолкование на диаграммах Эйлера-Венна.

8. Дать понятие универсального множества. Сформулировать определение дополнения множества. Во множестве всех действительных чисел назвать дополнение множества рациональных чисел, множества целых чисел.

9. Сформулировать следующие свойства операций над множествами: коммутативность объединения и пересечения; ассоциативность объединения и пересечения; дистрибутивные свойства операций объединения и пересечения; свойства дополнений.

10. Во множестве всех целых чисел назовите дополнение:

а) множества четных чисел,

б) множества нечетных чисел.