Способы задания множеств. Отношения между множествами

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Существует несколько способов задания множеств.

1) Задание множества с помощью словесного описания. Например,
А – множество натуральных чисел, меньших 6.

2) Задание множеств перечислением элементов, сводящееся к последовательному выписыванию, пересчету всех элементов данного множества. Этим способом могут быть заданы конечные множества, а также те бесконечные множества, элементы которых можно перенумеровать натуральными числами. Например: А= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, N = {1, 2, 3,..., п,...}, Р – множество всех простых чисел, Р = {2, 3, 5, 7,..., p,...}.

3) Задание множества с помощью характеристического свойства элементов множества.

Этот способ заключается в том, что если хотят задать множество А, то:

а) указывают хорошо известное множество М, подмножеством которого является множество А;

б) указывают свойство Р, которым обладают те и только те элементы множества М, которые входят в А. При этом множество А записывают в виде: А = {х/х Î М, Р(х)}, где символ Р(х) заменяет слова: «элемент х обладает свойством Р». Например, А – множество натуральных чисел, меньших 6 можно задать так: А = {х/х Î N, х < 6}.

_______________________________________________________________

Определение 1. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. В этом случае пишут, А=В.

_________________________________________________________________________________________

Например: А = {1², 2², З², 4² }и В = { } равны, А = В, т.к. оба множества состоят из чисел 1, 4, 9, 16.

______________________________________________________________

Определение 2. Множество В называют подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является одновременно и элементом множества А. В этом случае пишут В Ì А.

__________________________________________________________________________

Согласно данному определению подмножества каждое множество является подмножеством самого себя: А Ì А. Кроме того, считают, что пустое множество есть подмножество любого множества А: Æ Ì А.

Определение 3. Если А Ì В и А ¹ В, то А называют собственным подмножеством множества В

_________________________________________________________________________________________

Например, множество А = {п,т,р} имеет восемь подмножеств: {т}, { n }, {р}, {т,р}, {т,п}, {п,р}, { n, т,р} и Æ.

Из определений 1 и 2, очевидно, что если В Ì А и А Ì В, то А = В. Из этого утверждения вытекает один из способов доказательства равенства двух множеств: если доказано, что любой элемент из В является элементом из А и, в свою очередь, любой элемент из А является элементом В, то делают вывод А= В.

Кроме того, если А Ì В и В Ì С, то А Ì С. Действительно, если, каждый элемент множества А принадлежит В, а каждый элемент множества В является, в свою очередь, элементом С, то каждый элемент из А принадлежит множеству С.

Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Например, если мы хотим наглядно изобразить, что множество А является собственным подмножеством В, то рисуем эти множества так, как показано на рисунке 1. Если же надо показать, что множества А и В не имеют общих элементов, то их изображаем так, как показано на рисунке 2. Такие изображения множеств кругами называют диаграммами Эйлера-Венна.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3.

Диаграмма, показанная на рисунке 3, делает очевидным утверждение: если А Ì В и ВÌ С, то А Ì С.

____________________________________________________________

Определение 4. Для данных множеств А, В С,... универсальным множеством называют каждое множество И, такое, что А Ì И, В Ì И, С Ì И,...

______________________________________________________________________________________

Каждое множество является универсальным множеством для любой системы своих подмножеств.

Например, если А – множество студентов первого курса некоторого института, В – множество студенток в этом же институте, С – множество спортсменов этого же института, то в качестве универсального множества И можно взять множество всех студентов данного института, тогда А Ì И, В Ì И, С Ì И.