Объединение и пересечение множеств, их свойства

_____________________________________________________________

Определение 5. Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат, хотя бы одному из этих множеств.

_____________________________________________________________________________________

Объединение множеств А и В обозначают А È В, где символ È знак объединения множеств, А È В = {х/х Î А или х Î В}.

Например, А = {1,2,3,4}, В = (3,4,5,6},А È В={1,2,3,4,5,6}.

На диаграмме Эйлера-Венна заштриховано объединение множеств А и В.

Очевидно, что хÏА È В тогда и только тогда, когда х Ï А и х Ï В. Операция объединения множеств обладает следующими свойствами:

1. Для любых множеств А и В имеем:

А È В = В È А (коммутативность).

2. Для любых множеств А, В и С имеем:

(А È В) È С = А È (В È С) = А È В È С (ассоциативность).

3. Если В Ì А, то А È В = А.

В частности, для любого множества А имеем:

А È А=А; А ÈÆ =А; А È И=И.

Проиллюстрируем некоторые свойства с помощью диаграмм Эйлера:

Заштриховано объединение множеств А È В и А È И

____________________________________________________________

Определение 6. Пересечением множеств А и В называют множес­тво, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые одно­временно принадлежат и множеству А, и множеству В.

____________________________________________________________________________________

Пересечение множеств А и В записывают А Ç В, где Ç - знак пере­сечения множеств.

А Ç В = {х/х Î А и х Î В}.

Например: А = {1,2, 3,4}; 5= {3,4, 5, 6}; А Ç В = {3,4}.

На диаграмме Эйлера-Венна заштриховано пересечение множеств А и В.

Очевидно, что х Ï А Ç В тогда и только тогда, когда х Ï А или х Ï В.

Операция пересечения множеств обладает следующими сво­йствами:

1. Для любых множеств А и В имеем:

А Ç В = В Ç А (коммутативность).

2. Для любых множеств А, В и С имеем:

(А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С)=А Ç В Ç С (ассоциативность).

3. Если А Ì В, то А Ç В = А.

В частности, для любого множества А имеем

А Ç А = А; А Ç Æ = Æ; А Ç И = А.

Проиллюстрируем третье свойство с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

На рисунках заштриховано пересечение множеств А Ç В и А Ç И. Операции объединения и пересечения множеств связаны дистри­бутивными законами:

1) А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)- дистрибутивный закон пересече­ния относительно объединения слева;

2) А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А и С) - дистрибутивный закон объединения относительно пересечения слева.