II. Элементы математической логики

Литература: [1] гл. 1, §2, §3, §4

1. ВЫСКАЗЫВАНИЯИ ПРЕДИКАТЫ. __________________________________________________________________

Определение 1. Высказыванием называют любое повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.

_____________________________________________________________________________________________

Современная математическая логика включает в себя логику высказываний и логику предикатов.

Высказывание принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д. Если высказывание А истинно, то записывают А – «И», если высказывание А ложно, то записывают А – «Л».

Если заданы высказывания А и В, то из них можно составить новое высказывание, используя логические связки «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не». Такие высказывания называют составными, а входящие в них высказывания А и В – элементарными высказываниями. Логические связки (или логические операции) принято обозначать соответственно специальными символами (Ù, Ú, ®, «, –).

Составные высказывания, образованные из высказываний А и В, определяются следующими таблицами истинностей.

Состав­ное высказывание	Читается	Название высказывания	Таблица истинности
АÙВ	А и В	Конъюнкция высказываний	А	В	АÙВ
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л
аÚв	А или В	Дизъюнкция высказываний	А	В	АÚВ
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л
А®В	Если А, то В	Импликация высказываний	А	В	А ® В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И
А «В	А тогда и только тогда, когда В	Эквиваленция высказываний	А	В	А «В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И
	Неверно, что А	Отрицание высказывания А	А
И	Л
Л	И

Два составных высказывания А и В называются равносильными, если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут А = В.

Свойства составных высказываний:

Для конъюнкции	Названия свойства	Для дизъюнкции
А ÙВ = ВÙА	Коммутативность	АÚВ = ВÚА
А Ù(ВÙС) = (А ÙВ) ÙС = = А ÙВÙС	Ассоциативность	АÚ(ВÚС) = (АÚВ)ÚС = = АÚВÚС

Есть свойства, связывающие эти две операции:

(АÚВ)ÙС = (АÙС)Ú(ВÙС) – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

(АÙВ)Ú С = (АÚ С) Ù (ВÚС) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

Для отрицания высказываний можно записать равносильности:

1. =А – любое высказывание А равносильно высказыванию

2. А Ù = Л, в этом случае говорят, что формула А и тождественно ложна.

3. А Ú = И, в этом случае говорят, что формула А или тождественно истинна. Операции конъюнкция, дизъюнкция и отрицание высказываний связаны следующими соотношениями:

.

Эти отношения называют законами де Моргана.

Операция импликации двух высказываний может быть выражена через операции отрицания и дизъюнкции:

А ® В = Ú В.

Для импликации высказываний имеет место закон контрапозиции: А ® В = ®

Все эти свойства доказываются с помощью таблиц истинности.

Задача 1.

Доказать равносильность А ® В = Ú В. Составимтаблицу истинности для высказываний А ® В и Ú В.

А	В		А ® В	Ú В
И	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	Л
Л	И	И	И	И
Л	Л	И	И	И

Совпадение истинностных значений высказываний А ® В и Ú В доказывает их равносильность.

___________________________________________________________

Определение 2. Предикатом(или высказывательной формой) называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание вся­кий раз при подстановке вместо переменных их значений из некоторого множества Х.

_____________________________________________________________________________________________

В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные и т. д. предикаты (высказывательные формы), которые обозначаются, соответственно, так:

А (х), В (х, у) и т. д.

В пособии, мы, будем использовать термин – «предикат».

Например, х > 3 – одноместный предикат, а х + у = 10 – двухместный предикат. При задании предиката обычно указывают его область определения X – множества, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат.

Множество тех значений переменной из области ее определения, при подстановке которых предикат обращается в истинное высказывание, называется множеством истинности предиката. Обозначение – Т, Т Ì Х.

Конъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X, называется предикат А(х) Ù В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях хÎ Х, при которых истинны оба предиката.

Множество истинности конъюнкции предикатов есть пересечение множеств истинности образующих ее предикатов.

Т _{а(х)ÙВ(х)} = Т _а(х) Ç Т _В(х).

Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве называется предикат А(х) Ú В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х Î X, при которых истинен хотя бы один из предикатов.

Т_{а(х)\/В(х)} = Т _А(Х) È Т _В(х)

Отрицанием предиката А(х), заданного на множестве X, называется предикат , истинный при тех и только тех значениях х Î X, прикоторых предикат А(х) ложен.

= Х \Т_А(Х); = Т'_А(Х)

Импликацией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х называется предикат А(х) ® В(х), обращающийся в ложное высказывание при подстановке вместо х таких значений а, для которых А(а) истинно, а В (а) – ложно; при остальных значениях х – предикат А(х) ® В(х) обращается в истинное высказывание.