Соответствие, обратное данному

Пусть между эл-ми мн-ва Х и эл-ми мн-ва Y установлено соответствие Р, тогда Р^-1 называется обратным соответствием Р; если Y вступает в соответствие уР^-1х, то хРу.

X={a; b;c}

Y={2;3}

P={(a;2); (a;3); (b;2); (c;3)}

P^-1={(2;a); (3;a); (2;b); (3;c)}

Графики соответствий, кот. явл-ся обратными, симметрич. и симметрич. относит-но прямой y=x.

Числовой ф-цией наз-ся такое соответствие м-у числовым мн-вом Х и мн-вом R действит-х чисел, при кот. кажд-у числу из мн-ва X сопоставляется единств-ое число из мн-ва R.

Мн-во Х наз-ют областью опред-я ф-ции.

Ф-ции принято обознач. буквами f, g, h и др.

Мн-во чисел вида f(x) для всех х из мн-ва Х назыв-т областью знач-й ф-ции.

Ф-ция f назыв-ся монотонной на некот. промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.

Ф-ция y=f(x) назыв-ся возраст-й на некот-м промежутке, кот. принадлежит области опред-ия этой ф-ции, если для любых x₁ и x₂ на этом промежутке вып-ся след-ее усл-е:

x₁>x₂ => f(x₁)<f(x₂)

Ф-ция y=f(x) назыв-ся убыв-й на некот-м промежутке, кот. принадлежит области опред-ия этой ф-ции, если для любых x₁ и x₂ на этом промежутке выполняется след-ее усл-е:

x₁<x₂ => f(x₁)>f(x₂)

Способы задания функций.

Для задания функции нбх. указать:

- числовое мн-во Х, т.е. область опред-я ф-ции;

- правило, по кот-му кажд-у числу из мн-ва Х соответствует единств-е дейст-ное число.

Способы задания:

1) С пом. формулы (y=2x-3, y=3x).

2) С пом. графика.

3) При пом. таблицы.

t (в часах)
p (в град.Цельсия)	-3	-7	-5						-3

Прямая и обрат. пропорц-ти, их осн-е св-ва и графики.

1) Прямой пропорц-тью назыв-ся ф-ция, кот. м. б. задана при пом. формулы y=kx, где k≠0 – действит-е число.

Св-ва прямопропорц-ой завис-ти:

- областью опред-я функции y=kx и областью ее знач-я явл-ся мн-во действит-х чисел R.

- графиком прямой пропорц-ти явл-ся прямая, проходящая через начало координат.

- при k>0 ф-ция возраст. на всей области опред-я; при k<0 – убывает.

- если ф-ция f – прямопропорц-ая завис-ть и (x₁, y₁), (x₂, y₂) – пары соответств-ых знач-ий переменных x и y, то с увелич-ем (уменьш-ем) знач-я переменной х в неск-ко раз соответств-е знач-е переменной у увелич-ся (уменьш-ся) во столько же раз.

2) Обратной пропорц-тью наз-ся ф-ция, кот. м. б. задана при пом. формулы y=k/x, где k≠0 – действит-ое число.

Св-ва обратнопропорц-ой завис-ти:

- область опред-я ф-ции и область знач-я – мн-во действит-х чисел, отличных от нуля.

- график – гипербола

- при k>0 ветви гиперболы распол-ны в 1й и 3й четвертях и ф-ция убывает на всей области опред-я х; при k<0 ветви гиперболы распол-ны во 2й и 4й четвертях и ф-ция возраст-т на всей области опред-я х.

- если ф-ция f – обратная пропорц-ть и (x₁, y₁), (x₂, y₂) – пары соответств-х знач-й переменных x и y, то (х₁/x₂)=(у₂/у₁). С увелич-ем (уменьш-ем) знач-я переменной х в неск-ко раз соответств-щее знач-е переменной у увелич-ся (уменьш-ся) во столько же раз.

Примеры числовых ф-ций из нач. курса матем-ки, заданных при пом.: а) таблицы; б) выраж-я с переем-ой; в) формулы.

6. Опред-ия отнош-ий на мн-ве. Способы задания отнош-ий. Отнош-ия эквивалент-ти и их связь с разбиением мн-ва на классы. Отнош-я порядка. Примеры заданий из учеб-ов мат-ки для нач. кл., при выполнении кот-х происходит: а) разбиение на классы с пом. отнош-я; б) упорядочение заданных мн-в.

Отнош-ем м-у эл-тами мн-ва Х или отнош-ем на множестве Х назыв-ся любое подмн-во декартова произвед-я мн-ва на себя. Отнош-е – это есть мн-во упорядоч-х пар.

Обознач-ся заглавными буквами лат. алфавита, причем принято брать буквы из конца алфавита.

Способы задания отнош-ий.

1) Перечисл-е входящих в него эл-тов (только конечное мн-во).

R={(2;1); (3;1); (3;2); (4;1); (4;3); (4;2)}

2) Характеристич-е св-во (в словесной форме, с пом. формулы).

R: «x>y»

3) Графич-й способ (представл-е данного отнош-я при помощи рисунков – графов)

Св-ва отнош-ий:

1) Св-во рефлексивности (около кажд. эл-та имеется стрелочка)

Отнош-е R, заданное на мн-ве Х, назыв-ся рефлексивным, если кажд. эл-т данного мн-ва вступает в отнош-е R с самим собой.

(R - рефлексивно) <=> (Vx€X xRx)

2) Св-во симметрич-ти (стрелочки в обе стороны)

Отнош-е R, заданное на мн-ве Х, назыв-ся симметрич., если из того, что эл-т х находится в отношении R с эл-том у, следует, что и эл-т у находится в отнош-и R c эл-том х.

(R - симметрично) <=> (xRy => yRx)

3) Св-во антисимметрич-ти (стрелочка только от одного эл-та к др-у, в обратную сторону стрелочки не д.б.).

Отнош-е R, заданное на мн-ве Х, обладает св-вом антисимметрич-ти, если для различ. эл-тов х и у из мн-ва Х из того, что эл-т х вступил в отнош-е R с эл-том у следует, что эл-т у в отнош-е R с эл-том х не вступает.

(R - антисимметрично) <=> (xRy и х≠y => ⌐yRx)

4) Св-во транзитив-ти (имеется тр-к)

Отнош-е R, заданное на мн-ве Х, назыв-ся транзитивным, если из того, что эл-т х находится в отнош-и R с эл-том у и эл-т у находится в отнош-ии R с эл-том z, следует, что эл-т x находится в отнош-и R с эл-том z.

(R - транзитивно) <=> (xRy и yRx => xRz)

Отнош-е R, заданное на мн-ве Х явл-ся отнош-ем эквивалент-ти, если оно обладает св-вами рефлексив-ти, симметрич-ти, транзитив-ти.

Q= {1/3; 2/3; 3/9; 2/6; 4/6; 1/12}

R: «x=y»

R={(1/3;1;3); (2/3;2/3); (3/9;3/9); (2/6;2/6); (4/6;4/6); (1/12;1/12); (1/3;3/9); (3/9;1/3); (1/3;2/6); (2/6;1/3); (2/6;3/9); (3/9;2/6); (2/3; 4/6); (4/6;2/3)}

Если на мн-ве Х задано отнош-е эквивалент-ти, то оно разбивает это мн-во на попарно непересекающ-ся подмн-ва (классы эквивалент-ти).

Напр.:

Х={1/2; 1/3; 1/4; 2/4; 2/6; 3/6}

Отнош-е рав-ва дробей. Мн-во разбилось на три подмн-ва: {1/2; 2/4; 3/6}, {1/3; 2/6}, {1/4}. Эти подмн-ва не пересек-ся, а их объед-е совпад. с мн-вом Х => мн-во Х разбито на классы.

Если на мн-ве задано отнош-е, кот. разбивает это мн-во на классы, то это отнош-е будет явл-ся отнош-ем эквивалент-ти.

Примеры: отнош-я рав-ва геометрич-х фигур, отнош-е параллельности прямых (при усл-и, что совпадающие прямые считаются параллельными)

Отнош-е R на мн-ве Х наз-ся отнош-ем порядка, если оно одновр-но обладает св-вами антисимметрич-ти и транзитив-ти.

Например:

Отнош-е «меньше» на мн-ве натур-х чисел.

X= {2; 7; 9; 11; 12}

S: «x>y»

S= {(7;2); (9;2); (9;7); (11;2); (11;7); (11;9); (12;2); (12;7); (12;9); (12;11)}

S – антисимметрич. и транзитив. => отнош-е S явл-ся отнош-ем порядка

Мн-во Х назыв-ся упорядоченным, если на нем задано отнош-е порядка.

Примеры заданий из учеб. матем-ки для нач.., при вып-нии кот. происходит: