Понятия, их объем и сод-ие. Отнош-е рода и вида м-у понятиями. Явные и неявные опред-я понятий. Примеры явных и неявных опред-ий понятий, изуч-х в нач. курсе матем-и (2-3)

Влогике понятия рассматр-ют как форму мысли, отражающую Ob-ы (предметы или явл-я) в их существ-х и общих св-вах.

Любое понятие характер-ся термином, объемом и сод-ем.

Существенными св-вами понятий явл-ся те св-ва понятия, без кот. оно не м. существовать.

Сод-ие понятия – совок-ть всех существ-х св-в того или иного понятия.

Объем понятия – совок-ть всех Ob-ов, обозначаемых одним и тем же термином.

Пример:

Понятие: четырехугольник.

Св-ва, кот. образуют сод-ие: имеет 4 стороны, 4 угла; диагонали пересек-ся в одной точке; сумма углов равна 360 градусов; сумма 2х смежных сторон > длинны диагонали, соединяющей концы этих сторон; и т.д.

Объем: параллелограмм, трапеция, квадрат и т.д.

М-у объемом и сод-ем понятия сущ-ет опред-я связь: чем больше объем понятия, тем меньше его сод-ие, и наоборот.

Объем понятия – V_{(понятие)}

Понятия м. находиться в различ. отнош-ях, в частности родо-видовых.

Понятие а явл-ся родовым по отнош-ю к понятию b, если объем понятия b явл-ся подмн-вом объема понятия a.

V_b C V_a

Пример:

Понятие «параллелогр.» явл-ся видовым для понятия «4угольник», а «4угольник» - родовое для понятия «параллелогр.»

Одно и то же понятие м. иметь в качестве родового понятия неск-ко понятий.

Пример:

Понятие «ромб». Родовое понятие: «4угольник», «параллелогр.», «геометрич. фигура».

Одно и то же понятие м. б. по отнош-ю к одному понятию видовым, а по отнош-ю к др-у понятию – родовым.

Пример:

«Параллелогр.» – родовое для «ромб», видовое для «4угольник».

Если объемы 2х понятий совпадают, то такие понятия тождественны.

Пример:

Прямоугольный тр-к – это такой тр-к, у кот. один угол прямой.

Прямоугольный тр-к – это такой тр-к, в кот. сумма 2х углов равна 90 градусов.

Понятия м. находиться в отнош-ях часть-целое.

Пример:

Прямая – отрезок (объемы понятий не пересек-ся)

Сод-ие понятий раскрывается через опред-ие понятий. В опред-ях разъясняется суть нового понятия. Различают явные и неявные опред-ия.

Явные опред-ия имеют форму рав-ва.

В структуру этого рав-ва входят:

- Определяемое понятие (1) – определяющее понятие (2)

- Определяющее понятие сост. из родового понятия (3) и видового понятия (4)

Пример:

Остроугольный тр-к – это тр-к, в кот. все углы острые.

1 – остроугольный тр-к.

2 – это тр-к, в кот. все углы острые.

3 – тр-к.

4 – в кот. все углы острые.

Неявные опред-ия бывают контекстуальные и остенсивные.

Контекстуальные – опред-ия, в кот. суть понятия раскрывается через текст.

Остенсивные – суть понятия раскрывается через рассказ.

К явным опред-ям предъявляются различ. треб-ия:

1) Опред-ие д. б. соразмерным (т.е. объемы определяющего понятия и определяемого д. совпадать)

Пример:

Тупоугольный тр-ик – это тр-к, у кот. только 2 угла острые.

2) Д. отсутствовать «порочный круг» (т.е. понятие нельзя опред-ть через самое себя, или через что-то, кот. потом определяется через определяемое понятие).

Пример:

Умнож-е чисел – это когда числа умнож-ся. Умнож-е – действие, в кот. находятся произвед-е, а произвед-е – это рез-т умнож-я.

3) Отсутствие избыточности.

Пример:

Прямоугольный тр-к – тр-к, у кот. один угол прямой, а сумма 2х др. углов равна 90 градусов.

Опред-ия математич-х понятий в курсе матем-ке в нач. шк. осущ-ся в основном с помощью неявных опред-ий. Такими примерами явл-ся след. опред-ия: ур-ние (3 кл.), прямой угол, отрезок, прямая, ломанная.

2. Высказ-ия и высказыват-ые формы. Смысл логич-х связок «и», «или», «неверно, что» в составных высказ-ях. Высказ-ия с кванторами, способы установл-я их знач-я ист-ти.

Относ-но понятий и отнош-ий м-у ними м. высказывать различ. суждения. Языковой формой суждений явл-ся повествоват-е предложения (Число 12 – четное; 2+5>8; х+5=8). Они м.б. записаны как на естественном, так и на математич. языке.

Высказ-е – это предл-ие, в отнош-ии кот-го имеет смысл задать вопрос «истинно оно или ложно».

Определить истинность или ложность высказ-ия это значит найти знач-ие истинности высказ-ия.

Высказыват. форма – это предл-ие, содержащее одну или неск-ко переменных, кот. обращается высказ-ем при подстановке в него вместо переменных конкрет. знач-ий.

Высказывательная форма это есть предложение относительно которого не имеет смысл задавать вопрос об истинности или лжи.

По числу переменных, входящих в высказыват. форму, различают одноместные (х +5=8), двухместные (Прямая х параллельна прямой y) и т.д. Обознач-е: A(x), A(x,y) и т.д.

В высказыват. форме переменные м. содержаться неявно: «число четное» (подразум-ся: «число х – четное»)

Область опред-я высказыват. формы – знач-е переменных, при кот. высказыват. форма определена.

Мн-во истинности – знач-я переменных, кот. обращают высказыват. форму в истинное высказ-е (обознач.: Т).

Предл-я (высказ-я и высказыват. формы):

- простые, элементарные.

- сложные, составные (если тр-к равнобедр-й, то углы при основании в нем равны).

Составные предл-я образ-ся из простых при пом. логич. связок: «И», «Или», «Если то», «Не» и др.

Напр.: «число 28 четное и делится на 7».

Выявить логич. структуру математич-го предл-ия:

- опред-ть из каких эл-тов состоит предл-е

- с пом. каких логич. связок оно образовано.

Образ-е составного высказ-я с пом. логич. связки назыв-ся логической операцией.

Если высказ-е явл-ся простым математич. выраж-ем, то его знач-е ист-ти опред-ся на основе тех З., кот. имеются о рассматриваемом объекте.

Если высказ-е – составное математич. предл-е, то его знач-е ист-ти опред-ся по след-им правилам:

1) Смысл «И»

Конъюнкцией высказ-ий А и В наз-ся высказ-е A۸B, кот. истинно, когда обо высказ-я истины, и ложно, когда хотя бы одно высказ-е ложно.

А	В	A۸B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

2) Смысл «ИЛИ»

Дизъюнкцией высказ-ий А и В назыв. высказ-е AVB, кот. истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказ-ий, и ложно, когда оба высказ-ия ложны.

А	В	AVB
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

3) Смысл «Неверно, что» (НЕ)

Отрицанием высказ-я А наз-ся высказ-ие Ā, кот. ложно, когда высказ-е А истинно, и истинно, когда высказ-е А – ложно.

A	Ā
И	Л
Л	И

В формулировках математич. предл-ий часто встреч-ся слова: «каждый», «все», «некот-е», «хотя бы один».

Выражение «для всякого х» называется квантором общности.

(V x) A(x) «для всякого значения х предложение А(х) – истинное высказывание». [ V = перевернутая А]

Выражение «существует х такое, что…» называется квантором существования.

(Е х) А(х) «существует такое значение х, что А(х) – истинное высказывание». [Е = Е зеркальное]

«Всякий» = «все», «каждый», «любой».

«Существует» = «некоторые», «найдется хотя бы один», «есть хотя бы один».

Установл-е ист-ти для высказ-я с квантором общности:

Ист-ть высказ-я с квантором общности устанавл-ся путем док-ва.

Например:

Произвед-е любых 2ух последоват-х натур-х чисел кратно 2. Любой – V.

Выдвинем предпол-е, что высказ-е истинно. Чтобы обосновать ист-ть данного высказ-я, содержащего квантор общности, проведем док-во.

x₁=2n

x₂=2n+1

x₁*x₂=2n(2n+1), т.к. данное произвед-е содержит множ-ль, кратный 2, то всё произвед-е будет кратно 2.

Показать ложность таких высказ-ий м., приведя контрпример.

Например:

Произве-е любых 2х соседних натур-х чисел кратно 4.

3*2=6, 6:4 – доказана ложность данного высказ-я.

Установл-е ист-ти для высказ-я с квантором существования:

Ист-ть высказ-я с квантором существования устанавл-ся при пом. конкрет-го примера.

Например:

В некот-х тр-ках стороны равны (рисуем равнобедр-й тр-к и отмечаем равные стороны).

Чтобы убедиться в ложности такого высказ-я, нбх. привести док-во.

Например:

Хотя бы одно из чисел 0,1,2,3,4 явл-ся решением ур-ия -10x=20. Среди чисел 0,1,2,3,4 есть такое, кот-е явл-ся решением ур-ия.

Данное высказ-ие явл-ся ложным, оно содержит квантор существования. Чтобы доказать ложность данного высказывания, проведем док-во.

Док-во будем проводить методом полной индукции (рассмотрим все частные случаи).

х₁=0 => -10*0=20 – невер. числовое рав-во

х₂=1 => -10*1=20 – невер. числовое рав-во

х₃=2 => -10*2=20 – невер. числовое рав-во

х₄=3 => -10*3=20 – невер. числовое рав-во

х₅=4 => -10*4=20 – невер. числовое рав-во

3. Умозаключения (УЗ). Неполная индукция и аналогия. Примеры таких УЗ. Построения УЗ, с пом. кот. мл. шк-ки «открывают» св-во прямоуг-ка: «В любом прямоуг-ке диагонали равны». Пример использ-я в нач. курсе О. матем-ке УЗ по аналогии.

УЗ – это способ получ-я нов. З. на основе некоторого имеющегося. УЗ – это такая логич. операция, кот. позволяет из одного или нескольких предложений получить новое предложение, кот. будет содержать новые, по сравнению с исходными, знания.

УЗ состоит из посылок и заключения. Между посылками и заключ. сущ-ет опред. связь, благодаря которой мы получаем УЗ.

Посылки – это высказывания, содержащие исходное З.

Заключ-е – это высказ-ие, содержащее нов. З., полученное из исходного. В УЗ изпосылок выводится заключ-е.

Рассм. примеры УЗ, кот. выполняют мл. шк-ки, изучая матем-ку.

Пример 1. Ученику предлаг-ся объяснить, почему число 23 м. представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает:

«Число 23 – двузначное. Любое двузнач-е число м. представить в виде суммы разрядных слаг-ых. След-но, 23 = 20 + 3».

1ое и 2ое предл-ия в этом УЗ посылки, причем одна посылка общего хар-ра: высказ-е «любое двузнач. число м. представить в виде суммы разрядных слаг-ых», а др. – частная, она характериз. только число 23 – оно двузнач. Заключ-е – предл-е, кот. стоит после слова «след-но», - также носит частный хар-р, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.

Пример 2. Один из приемов ознак-я мл. шк-ков с переместит-м св-вом умнож-я заключ-ся в следующем. Используя различ-е ср-ва наглядности, шк-ки вместе с (У) устанавл-ют, что 6•3=3•6, 5•2=2•5, 3•7=7•3. А затем, на основе получ-ых рав-в делают вывод: для всех натур-ых чисел аи b верно рав-во а•b=b•а.

УЗ бывают разные:

- дедуктивные (посылки и заключ-е находятся в отнош-и логич-го следования – пример 1)

- неполная индукция

- по аналогии

1) Дедуктивным назыв-ся УЗ, в кот. посылки и заключ-е находятся в отнош-ии логич-го следования.

2) Неполная индукция – УЗ, в кот. на основании того, что некот. объекты опред. класса обладают тем или иным св-вом, делается вывод о том, что этим св-вом обладают все эл-ты данного класса. Вид рассужд-я, кот. часто использ-ся в нач. шк. Такое рассужд-е м. привести как к истинным, так и к ложным выводам. Эти выводы д. носить хар-р гипотезы, кот. потом нужно доказать или опровергнуть. Неполная индукция не явл-ся доказательством.

Напр.: Для некот-х натур-ых чисел м. утверждать, что сумма < их произвед-я. На основании этого м. сделать вывод о том, что этим св-вом обладают все натур-ые числа, т.е. а+b<а*b. Но это утвержд-е ложно, в чем м. убедиться с помощью контрпримера: числа 1 и 2 – натуральные, но сумма 1+2>1*2.

3) Аналогия – УЗ, в кот. на основании сходства 2х объектов в некот-х признаках и при наличии дополнит-го признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у др. объекта. Вывод по аналогии носит характер предпол-я, гипотезы, и поэтому д. б. доказан или опровергнут.

Термин «объект» использ-ся в широком смысле: им м. б. реальный предмет, модель, рис-к, числовое или буквенное выраж-е, задача и т.д. В кач-ве признаков м. выступать св-ва объектов, отнош-я м-у ними, способы ДД и т.д.

Напр.: (у) установил, что число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Затем, действуя по аналогии, сделал вывод: число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4. Чтобы убедиться в ложности получ-го вывода, достат-но привести контрпример: число 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8.

Аналогия м. б. использована для установления отнош-ий м-у данными объектами.

Напр., уч-ся установили, что 4•(3+7)>4•3+4•6, т. к. 4•(3+7)=4•3+4•7, а 4•7>4•6. Рассматривая затем выраж-я 3•(8+9) и 3•8+3•7, уч-ся м. по аналогии сделать вывод о том, что (8+9)>3•8+3•7. Проверить его прав-ть м. либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении 1го задания либо при пом. вычислений.

Примеры УЗ.

Неполная индукция:

3+3=6; 5+7=12; 1+1=2

Выделим некот. объекты из совокупности нат. чисел. 3,1,5,7 – рассмотрим их суммы. Их суммы – чётные числа. Предположим, что сумма двух нечётн. чисел есть число чётное.

Оно доказывается или опровергается.

3+2=5; 2+3=5

6+1=7; 1+6=7

5+4=9; 4+5=9

à от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

По аналогии:

а) 45=40+5; 21=20+1; 34=10+4

à 57=50+7

Построение УЗ, с пом. кот. мл. шк-ки «открывают» св-во прямоуг-ка: «В любом прямоуг-ке диагонали равны».

Уч-ся предлаг-ся на рассмотр-е неск-ко разных прямоуг-ков, у кот. требуется измерить диагонали. Уч-ся измеряют обе диагонали у кажд. прямоуг-ка, и на основе того, что они равны у всех прямоуг-ков, делают вывод: в люб. прямоуг-ке диагонали равны (неполная индукция).

Пример использ-я в нач. курсе О. матем-ке УЗ по аналогии.

После рассмотр-я способа умножения 27 на 3 (27•3=(20+7)•3=20•3+7•3=81) детям предлаг-ся умножить 712 на 4. Действуя по аналогии, они устанавл-т, что 712•4=(700+10+2) •4=2800+40+8=2848. Далее по аналогии устанавл-т, как умножить 6288 на 3.

4. Дедуктивные УЗ. Простейшие схемы дедукт-х УЗ. Примеры построения дедукт-х УЗ с использ-ем этих схем. Построение УЗ, доказыв-го, что: а) В заданном прямоуг-ке противоп-е стороны равны, б) Число 132 не кратно 5.

УЗ – способ получ-я нов. З. на основе некоторого имеющегося.

УЗ представляет собой логич-ю операцию, позволяющ. из одного или неск-их предл-ий получить нов., кот. содержит новые З. по отнош-ю к предыдущему предл-ию.

Каждое УЗ состоит из 2х посылок – общей и частной, и заключ-я. М-у посылками и заключ-ями сущ-ет опред-ая связь, благодаря кот. мы получаем УЗ.

Посылки – высказ-ия, содерж-ие исходное З.

Заключ-е – высказ-ие, содерж-ее новое З, полученное из исходного.

Например:

Общ. п.: «х:9 è х:3»

Ч. п.: «27:9»

Закл.: «è 27:3»

Дедуктивным наз-ся рассуждение (УЗ), в кот. посылки и заключ-е находятся в отнош-и логич-го следования.

В дедукт-м УЗ всегда из истинных посылок следует истинное заключ-е. Из истинных посылок НЕЛЬЗЯ получить ложное заключ-е.

Схемы дедуктивных рассуждений: