Б) разность

Мама купила 3 кг яблок, из них ее сын съел 1 кг. Ск-ко яблок осталось?

В данной задачи рассматр. 2 величины: масса яблок, кот. купили и кот. съели, причем единиц. измерен. 1 кг. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти численное знач. величин при той же един. велич. в 1 кг, кот. представляет собой разность 2х величин: массы ябл. кот. купили и съели. Потому данная задача реш. при пом. действия вычит-я.

16. Смысл произвед-я и частного натур-х чисел, полученных в рез-те измер-я величин. Примеры заданий из нач. курса матем-ки, раскрыв-х смысл произвед-я и частного натур-х чисел – мер величин.

Опред-е величины и натур. числа как рез-т измерения положит-ой скалярной величины – см. вопр. 17.

Умнож-е:

Если отрезок х состоит из а отрезков, длина кот-х равна Е, а отрезок длинны Е состоит из в отрезков, длина кот-х равна Е1,то мера длины отрезка х при ед-це длинны Е1 будет равна а•b. В рез-те умнож-я происходит переход от одной ед-цы измер-я к др., более мелкой.

Если натур-е число а – мера длины отрезка х при ед-це длины Е, натур-е число b – мера длины Е при ед-це длины Е₁, то произвед-е a•b – это мера длины отрезка х при ед-це длины Е₁.

a=m_E(A)

b=m_E1(E)

a•b=m_E1(A)

a•b=m_E(A)•m_E1(E)=m_E1(A)

Деление:

Если отрезок х состоит из а отрезков, длинf кот-х равна Е, а отрезок длины Е1 состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при ед-це длинны Е1 равна а:в. В рез-те деления происх-т переход от одной велич-ы к др., причем к более крупной.

Если натур-е число а – мера длины отрезка х при ед-це длины Е, а натур-е число b – мера новой ед-цы длины Е₁ при ед-це длины Е, то частное a:b – это мера длины отрезка х при ед-це длины Е₁.

а=m_E(A)

b=n_E(E₁)

a:b=m_E1(A)

из всего этого => a:b=m_E1(А)

a:b=m_E(A):m_E(E₁)=m_E1(A).

Примеры заданий:

Умнож-е:

1) В магазине было 3 ящ. апельсин по 15 кг в каждом. Ск-ко всего кг апельсин было в магазине?

Кол-во ящиков – 3

Масса 1 ящика – 15 кг

Общая масса всех апельсин –? кг

Масса – 3ящ.=3•1ящ.=3•15•1кг=45•1кг=45кг

2) Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Ск-ко кг муки купили?

В задаче рассматр-ся масса муки, кот. сначала измерена пакетами, известно численное знач-е этой массы. Треб-ся узнать рез-т измер-я этой же массы муки, но уже при пом. другой ед-цы – кг, при условии, что 1 пакет – это 2 кг муки.

3 пак=3•пак=3•(2кг)=3•2•кг=(3•2) кг

Деление:

1) В магазин привезли 45 кг апельсин. Их разложили в ящики по 15 кг в каждый. Ск-ко понадобилось ящиков?

Кол-во ящиков -? ящ.

Масса 1 ящика – 15 кг

Общая масса всех апельсин – 45 кг

45кг=45•1кг=45•(1:15)•1ящ.=(45:15)•1ящ.=3ящ.

1кг=(1:15)•1ящ.

(1:15) – мера величины в 1кг при Е в 1 ящик

2) 6 кг муки надо разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Ск-ко получится пакетов?

В задаче рассматр-ся масса муки, кот. сначала измерена при пом. ед-цы массы – кг, известно ее числ-е знач-е. Треб-ся найти рез-т измер-я этой же массы, но уже при пом. др. ед-цы – пакета, причем известно, что 1 пакет – это 2 кг.

6кг=6•кг=6•1\2 пак=(6:2) пак.

17. Теоретико-множ. смысл отнош-й «Х > (<) Y на a», «Х > (<) Y в a раз», заданных на мн-ве целых неотриц-х чисел. Связь этих отнош-й с операциями над числами, их моделирование с пом. отрезков. Примеры заданий из нач. курса матем-ки, раскрыв-их связь данных отнош-й с операц-ми над целыми неотриц-ми числами.

Отнош-е «Х > (<) Y на a»

Из того, что a<b тогда и только тогда, когда сущ-ет такое натур-е число с, что a+b=c, имеем, что «а меньше b на с» или «b больше а на с».

Если а=n(A), b=n(B) и a<b, то, исходя из теоретико-множ. смысла отнош-я «меньше», в мн-ве В м. выделить собственное подмн-во В₁, равномощное мн-ву А, и непустое мн-во В\В₁. Если число эл-тов в мн-ве В\В₁ обозначить через с (с≠0), то в мн-ве В будет столько же эл-тов, ск-ко их в А, и еще с эл-тов: n(B)=n(A)+n(B\B1) или b=a+c, что означет, что «а меньше b на с» (или «b больше а на с»).

Итак, с теоретико-множ. т. зр. «a меньше b на c» или «b больше а на с» означ-т, что если a=n(A), b=n(B), то в мн-ве В содержится столько эл-тов, сколько их в А, и еще с эл-тов.

Чтобы узнать, на ск-ко одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

Отнош-е «Х > (<) Y в a раз».

Чтобы узнать, во ск-ко раз одно число больше или меньше др., надо большее число разделить на меньшее.

Если a=n(A), b=n(B) и известно, что «а меньше b в с раз», то поскольку a<b, то в мн-ве В м. выделить собственное подмн-во, равномощное мн-ву А, но т.к. а меньше b в с раз, то мн-во В м. разбить на с подмн-в, равномощных мн-ву А.

Т.к. с – число подмн-в в разбиении мн-ва В, содержащего b эл-тов, в каждом подмн-ве – а эл-тов, то c=b:a.

Теоретико-множ. смысло отнош-я «a больше (меньше) b в c раз» м. воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач.

Связь отнош-й с операциями над числами.

Примеры заданий.

а) Отнош-е «Х > (<) Y на a»

На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Ск-ко ложек на столе?

В задаче рассм-ся 2 мн-ва: мно-во чашек (А) и мн-во ложек (В); n(A) =5, n(B) – надо найти при условии, что в В на 2 эл-та больше, чем в А. Отнош-е «больше на 2» означ., что в мн-ве В эл-тов столько же, сколько их в А, и еще 2 эл-та.

n(B)=n(B1)+n(B\B1)=5+2=7

б) Отнош-е «Х > (<) Y в a раз».

На участке растут 3 ели, а берез в 2 раза больше. Ск-ко берез растут на участке?

В задаче речь идет о 2х мн-вах: мн-ве елей (А) и мн-ве берез (В). Известно, что n(A) =3 и что в мн-ве В эл-тов в 2 раза больше, чем в мн-ве А. Требуется найти n(B).

Т.к. в мн-ве В эл-тов в 2 раза больше, чем в мн-ве А, то мн-во В м. разбить на 2 подмн-ва, равномощных мн-ву А. Поскольку в каждом из подмн-в по 3 эл-та, то в мн-ве В будет 3+3 эл-тов или 3•2 эл-тов.

18. Позиц-е и непозиц-е сист-ы счисл-я (СС). Особ-ти десятичной СС. Правило установл-я отнош-й «равно», «меньше», «больше» для чисел, записанных в этой СС. Примеры заданий из нач. курса матем-ки, при выполнении кот-х мл. шк-ки знакомятся с особ-тями десятичной СС.

СС – язык для наименов-я, записи чисел и вып-ния действий над ними.

Нумерация – язык для наименования и записи чисел.

Т.е. СС – нумерация + действия над числами.

Различают позиционные и непозиционные СС.

В позиционных СС один и тот же знак м. обозначать различ-е числа в завис-ти от места (позиции), заним-го этим знаком в записи числа. Напр.: десятеричная, шестидесятеричная вавилонская.

Непозиционные СС характериз-ся тем, что кажд. знак всегда обознач-т одно и то же число, независ. от места, заним-го этим знаком в записи числа. Напр.: римская СС (I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000; все ост-е числа получ-ся при пом. слож-я и вычит-я; IV – 4, XC – 90).

Особ-сти десятичной СС.

Десятичной записью натур-го числа х назыв. его предст-е в виде: х=a_n•10ⁿ+a_n-1•10^n-1+…+a₁•10+a₀, где коэффициенты a_n, a_n-1,…, a₁, a₀ приним-т знач-я 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а₀≠0.

Сумму a_n•10ⁿ+a_n-1•10^n-1+…+a₁•10+a₀ в краткой форме принято записывать так: a_na_n-1…a₁a₀.

Особ-ти:

- для записи чисел использ-ся 10 знаков (цифр: от 0 до 9);

- основание СС – число 10;

- из цифр образ-ся конечные послед-ти, кот. явл-ся краткими записями чисел (напр.: послед-ть 3745 явл-ся краткой записью числа 3•10³+7•10²+4•10+5;

- любое натур-ое число м. представить в виде суммы разряд. слаг-х, и для кажд. числа х такая сумма будет единственной;

- 10 ед-ц одного разряда сост-ют одну ед-цу след-го высшего разряда;

- три первых разряда в записи числа назыв. первым классом или классом ед-ц; 4й, 5й и 6й разряды (ед-цы тысяц, десятки тысяч, сотни тысяч) – классом тысяч; след. класс – класс миллионов;

- названия числам даются след. образом: имеются назв-я 1х десяти чисел, из них образ-ся назв-я послед-их чисел.

Отнош-я «=», «<», «>» для чисел, запис-х в десятич. СС.

1) x<y

Пусть даны два натуральных числа х и у.

х = a_n * 10ⁿ + a_n-1 * 10^n-1 + … + a₁ * 10 + a₀

y = b_m * 10^m + b_m-1 * 10^m-1 + … + b₁ * 10 + b₀

где a_n, a_n-1, …, a₁, a₀; b_m, b_m-1, …, b₁,b₀ – однозначные числа, тогда х<y, если выполняется одно из условий:

1) n<m;

2) n=m, но a_n<b_n;

3) m=n, a_n=b_n, …, a_k=b_k, но a_k-1<b_k-1.

2) x>y

Пусть даны два натуральных числа х и у.

х = a_n * 10ⁿ + a_n-1 * 10^n-1 + … + a₁ * 10 + a₀

y = b_m * 10^m + b_m-1 * 10^m-1 + … + b₁ * 10 + b₀

где a_n, a_n-1, …, a₁, a₀; b_m, b_m-1, …, b₁,b₀ – однозначные числа, тогда х>y, если выполняется одно из условий:

1) n>m;

2) n=m, но a_n>b_n;

3) m=n, a_n=b_n, …, a_k=b_k, но a_k-1>b_k-1.

3) x=y

Пусть даны два натуральных числа х и у.

х = a_n * 10ⁿ + a_n-1 * 10^n-1 + … + a₁ * 10 + a₀

y = b_m * 10^m + b_m-1 * 10^m-1 + … + b₁ * 10 + b₀

где a_n, a_n-1, …, a₁, a₀; b_m, b_m-1, …, b₁,b₀ – однозначные числа, тогда х=y, если:

1) n=m;

2) a_n=b_n,…, a_n-1=b_n-1, …, a₁=b₁ и a₀=b₀/

Примеры заданий.

В курсе матем-ки в нач. шк. предст-е числа в десятичной СС назыв-ся представл-ем числа в виде суммы разряд-х слаг-ых:

4382=4000+300+80+2

Ознак-е уч-ся с десят. СС происх-т в процессе всего О. в нач. шк.: сначала дети знаком. с этими особ-тями на этапе изуч-я чисел 1го десятка, получая предст-е о таких понятиях как «разряд ед-ц». Затем познания детей расширяются на этапе изуч-я натур. чисел в концентре сотни. Вводятся понятия 1й и 2й разряд, разряд ед-ц, разряд дес., однознач. и двузнач. число, счет. ед-ца – десяток, и т.д. Дети осознают, что 10 ед-ц разряда ед-ц = 1 ед-це разряда дес. (и т.д.)

См. Истомина.

2 кл.: стр. 112 №339; стр. 103 №303.

3 кл.: №486.; стр. 147 №492, №494.

Алгоритм слож-я и вычит-я многознач. чисел в десятич. СС; теоретич-е факты, лежащие в их основе. Примеры заданий из учебников матем-ки для нач. шк., раскрыв-их теоретич-е основы данных алгоритмов.

Алгоритм слож-я.

1) Представим слаг-ое 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

341+7238=(3•10²+4•10+1)+(7•10³+2•10²+З•10+8)
2) Св-во ассоциатив-ти разрешает записать выраж-е без скобок:

3•10²+4•10+1+7•10³+2•10²+З•10+8

3) На основании св-ва коммутатив-ти поменяем местами слаг-е:

7•10³+3•10²+2•10²+4•10+З•10+1+8

4) Согласно св-ву ассоц-ти произвед. группировку:

7•10³+(3•10²+2•10²)+(4•10+З•10)+(1+8)

5) Вынесем за скобки в первой выд-ой группе число 10², а во второй – 10 (св-вом дистрибут-ти умнож-я относит-но слож-я)

7•10³+(3+2)•10²+(4+З)•10+(1+8)

6) Слож-е данных чисел 341 и 7238 свелось к слож-ю однознач-х чисел, изображ-х цифрами соответств-х разрядов. Эти суммы находим по таблице слож-я;

7•10³+5•10²+7•10+9.

7) Полученное выраж-е есть десятич. запись числа 7579.

Теоретич. факты, лежащие в основе слож-я:

1) Представл-е числа в десятич-й СС.

2) Коммутатив. и ассоциатив. законы слож-я.

3) Дистрибут-й закон умнож-я относит-но слож-я.

4) Таблич-е слож-е однознач-х чисел.

Алгоритм слож-я многознач. чисел в столбик.:

1) Записываем числа строго разряд под разрядом.

2) Слож-е начинаем с ед-ц. К ед-цам разряда ед-ц 1го слаг-го прибавляем число ед-ц разряда ед-ц 2го слаг-го. Если получ-я сумма меньше 10, то записываем получ-ый рез-т в разряд ед-ц суммы.

3) Если получ-ый рез-т больше или равен 10, то представляем его в виде 10+q₀, где q₀ – любое однознач/ число, q₀ запис-ем в разряд ед-ц суммы, а число десятков в разряде десятков 1го слаг-го одновр-но увелич-ем на ед-цу.

4) Переходим к слож-ю в след-ем разряде и повторяем один из описанных процессов.

5) Процесс слож-я считается законч-м, если выполнили слож-е в старшем разряде обоих слаг-ых.

Алгоритм вычитания.

Вычит-е однознач-го числа b из однознач-го или двузнач-го числа а, не превыш-го 18, сводится к поиску такого числа с, что b+c=a, и происх-т с учетом табл. слож-я однознач. чисел.

1) Представим разность в таком виде:

485-231=(4•10²+8•10+5)-(2•10²+3•10+1)

2) Чтобы вычесть из числа 4 • 10²+8 • 10+5 сумму 2 • 10²+3 • 10+1, достат-о вычесть из него кажд. слаг-е этой суммы одно за др.:

(4•10²+8•10+5)-(2•10²+3•10+1)= (4•10²+8•10+5)- 2•10²-3•10-1

3) Чтобы вычесть число из суммы, достат-но, вычесть его из какого-либо одного слаг-го:

(4•10²+8•10+5)-2•10²-3•10-1=(4•10²-2•10²) +(8•10-3•10)+(5-1)

4) Воспользуемся дистрибут-тью умнож-я относит-но вычит-я и вынесем за скобки 10² и 10.

(4-2) •10² +(8-3) •10+(5-1)

5) Вычит-е свелось к вычит-ю однознач. чисел, получ-м выраж-е:

2•10²+5•10+4, которое явл-ся записью числа 254 в десятич. СС.

Теоретич. факты, лежащие в основе вычит-я:

1) Представл-е числа в десятич. СС.

2) Правило вычит-я числа из суммы и суммы из числа.

3) Дистрибут-е св-во умнож-я относит-но вычит-я.

4) Таблич-е слож-е однознач-х чисел.

Алгоритм вычит-я многознач. чисел в столбик:

1) Запис-ем вычит-е под уменьш-м строго разряд под разрядом.

2) Если число ед-ц в разряде ед-ц уменьш-го больше или равно числу ед-ц в разряде ед-ц вычит-го, то производим вычит-е и рез-т записываем в разряд ед-ц разности.

3) Если число ед-ц в разряде ед-ц уменьш-го меньше числа ед-ц в разряде ед-ц вычит-го и число десятков в разряде десятков уменьш-го не равно нулю, то уменьшаем число десятков в разряде десятков уменьш-го на ед-цу, увелич-я одновр-но число ед-ц в разряде ед-ц уменьш-го на 10, производим вычит-е, рез-т запис-ем в разряд ед-ц разности.

4) Если число ед-ц в разряде ед-ц уменьш-го меньше числа ед-ц в разряде ед-ц вычит-го и число десятков в разряде десятков, число сотен в разряде сотен и т.д. уменьш-го равно нулю, то уменьшаем число ед-ц в разряде уменьш-го, в кот. число ед-ц не равно нулю на ед-цу, увеличивая одновр-но число ед-ц в разрядах уменьш-го, где был 0 на 9, а число ед-ц уменьшаем на 10, производим вычит-е и получ-ый рез-т запис-ем в разряд ед-ц разности.

5) Переходим к вычит-ю в след-ем разряде и повторяем один из указ-ых процессов.

6) Вычит-е считается оконч-ым, если произвели вычит-е из старшего разряда уменьш-го.

Примеры заданий.

Истомина, 3 кл – с.151 №508, с.151 №521, с.157 №518, с. 154 №513.

Аргинская, 3 кл. – с.23 №49, с.29 №65, с.26 №55, с.26 №57.

Алгоритм умнож-я многознач. чисел в десятич. СС; теоретич. факты, лежащие в его основе. Примеры заданий из учеб-ов матем-ки для нач. шк., раскрывающих теоретич. основы данных алгоритмов.

Кроме алгоритмов письм. слож-я и вычит-я, изуч. в курсе матем. в нач. шк. так же изуч-ся алгоритм письм-го умнож-я многознач. чисел в десятич. СС.

Алгоритм умн-я многознач. чисел подраздел-ся на этапы:

1) Умнож-е многознач. чисел на однознач.

2) Умнож-е многознач. числа на степень числа 10.

3) Умнож-е многознач. чисел.

I. Умнож-е многознач. числа на однознач.:

Теоретич. полож-я:

1) Представл-е числа в десятич. СС.

2) Коммуникатив. и ассоциатив. законы умнож-я.

3) Дистрибутив. закон умнож-я относит-но слож-я.

4) Табличное умнож-е однознач-х чисел.

Алгоритм:

а) 231•3

б) Предст-е числа в десятич. СС:

(2•10²+3•10+1)•3

в) Дистрибут. св-во умнож-я относит-но слож-я:

(2•10²)•3+(3•10)•3+1•3

г) Коммут. и ассоц. св-ва умнож-я:

(2•3)•10²+(3•3)•10+1•3

д) Таблич. умнож-е однознач. чисел:

6•10²+9•10+3

е) Предст-е числа в десятич. СС:

Алгоритм умнож-я в столбик:

Чтобы упростить эту запись, предлаг-ся запись в столбик.

1) Пишем 1й множ-ль под 2м разряд под разрядом.

2) Начин-ем умнож-е с разряда ед-ц и т.д.

3) Процесс умнож-я считаем законч-ым после того, как умножено число ед-ц старшего разряда первого множителя.