Отношение эквивалентности: определение, примеры

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности (~).

Простейшим примером отношения эквивалентности на множестве X может служить отношение равенства.

Пример: параллельность а в с

или

Пусть — некоторое бинарное отношение на множестве . Будем говорить, что — отношение эквивалентности, если оно одновременно удовлетворяет свойствам

1. рефлексивности ХºХ (: для всех ;
2. симметричности ХºУ ® УºХ: для всех ;
3. транзитивности ХºУ и УºZ ® ХºZ: для всех .

В этом случае вместо употребляется запись , где .

Т.е. отношение эквивалентности удовлетворяет следующим условиям: каждый элемент эквивалентен сам себе, не важен порядок, в котором рассматриваются эквивалентные элементы, и если два элементы эквивалентны третьему, то они эквивалентны между собой.

Пример 1. Отношение равенства на множестве действительных чисел является отношением эквивалентности.

Пример 2. Отношение на множестве является отношением эквивалентности.

Всякому разбиению мн-ва X отвечает отношение эквивалентности, задаваемое следующим образом: x ~ y в том и только в том случае, когда x и y содержатся в одном общем подмножестве из разбиения.

Примеры:Отношение "быть синонимом" на множестве слов русского языка;

Отношение "иметь одинаковый остаток при делении на 3" на множестве целых чисел;

Отношение "быть параллельной" на множестве прямых одной плоскости.

Отношение "быть братом" на множестве людей.

Если x и y связаны отношением R, то часто вместо (x,y)∈R пишут xRy. Например, для отношения «равно» и отношения «меньше» на множестве действительных чисел вместо (x,y)∈= и (x,y)∈< принято писать соответственно x=y и x <y. Эти два отношения являются примерами двух важнейших классов бинарных отношений – отношений эквивалентности и отношений порядка.