Числовые равенства и неравенства

В курсе математики в начальной школе дети знакомятся со следующими алгебраическими понятиями:

- числовое выражение;

- выражение с переменной;

- равенство и неравенство;

- уравнение.

Объемы содержаний изучаемых понятий варьируются в зависимости от методик, которые использует учитель на своих уроках. Содержание этих понятий, изучаемых в курсе школы, может быть больше или меньше.

Задачи, стоящие перед учителем:

1) Сформировать представление у учащихся об указанных понятиях.

2) Раскрыть их содержание.

Равенства и неравенства.

Задачи:

Научить устанавливать отношения «больше», «меньше» или «равно» между числами и выражениями и записывать результаты сравнения с помощью знаков.

Этапы работы.

1. Упражнение на сравнение совокупности предметов.
Используем прием установления взаимнооднозначного соответствия.

На этом этапе результаты не записываются.

2. Сравнение чисел

а) Опираясь на предметную наглядность (сравнить ОО и ООО).
б) Используя свойства натурального ряда (место расположения в нату­ральном ряду).

в) На основе сравнения соответствующих разрядов, начиная с высшего (поразрядно)

254…546

г) По количеству цифр в записи числа

12…5

Можно сравнивать величины (5 дм и 8 см; 45 см и 43 см)

3. Сравнение выражений. Научить сравнивать, рассуждая.

6 и 6+1 (ОООООО и ООООООО)

Рассуждая, дети опираются на знания:

1) взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий

20+5 и 20+6

Слева записана сумма чисел 20 и 5. Справа - 20 и 6. Первые слагаемые одинаковые. В первой сумме второе слагаемое меньше, значит 20+5<20+6

2) смысл действия умножения

5+5+5 и 5•3

3) свойства арифметических действий

(5+2)•3 и 5•3+2•3

Обратить внимание на верные и неверные равенства.

Очень важным этапом является этап сравнения выражений. Через сравнение выражений дети знакомятся с такими понятиями как равенство и неравенство.

Для этого им предлагается сравнить 2 выражения, а результат сравнения зафиксировать в тетради. При этом вводятся знаки >, <, =.

В результате записи получаются математические предложения, которые носят названия равенство, неравенство.

Очень важно научить детей сравнивать выражения. На первых этапах сравнение выражений осуществляется через сравнение значений этих числовых выражений.

Затем, когда дети овладели этим методом сравнения выражений, им предлагается выполнить их сравнение, опираясь на свойства тех или иных арифметических действий.

27. Методика ознакомления с понятием «дробь».

Определение дроби.

Пусть дан некоторый отрезок … и единичный отрезок, который состоит из e=ne.

Если отрезок а состоит из m-отрезков е1(a=me), то длина отрезка а м.б. представлена в виде а = m*e/n, где символ m/n наз. Дробью. Причем m и n натуральные числа.

Дроби называются равными, если они выражают длину одного и того же отрезка при одной и той же единице длины (m-числительное, n-знаменательное).

Основное свойство дробей заключается в след.: если числит и знаменат дроби умножаются или разделяются на одно и то же число не равное нулю, то получается дробь равная данной. Сократить дробь-это значит заменить дробь ей данной, но с меньшим числит и знаменат.

Пример: 4/6=2/3

Неразрывно с понятием дроби связывают понятие положительного рационального числа.

Положит рац числом наз мн-во равных между собой дробей, каждая из которых явл записью этого положит рац числа.

Например:

а= ½ (а – положит рац число, записью кот явл дробь ½)

Любое натур число м.б записано в виде дроби, знаменат кот равен 1.

Например: 4/1; 6/1

Можно ли считать, что записью натур числа явл дробь 8/4? Да, эту дробь можно сократить на 4 и получить 2/1.

Любое нат рац число м.б записать при помощи несократимой дроби.

Прежде чем вводить пон-е меньше-больше для полож рац чисел, рассматр правило сравнения дробей.

Дроби можно сравнивать след способами:

1.если знамен-ли дробей равны, то больше та дробь, у кот числитель больше.

a/m>b/m, если a>b

2.если дроби имеют один числитель, то больше та дробь, знаменат-ль которой меньше.

m/a<m/b, если a>b

3.m/n>p/t, mt>np

Введем пон-е меньше на мн-ве рац чисел. Пусть a и b положит рац числа, тогда a<b, если сущ=ет такое положит рац число c, что a+c=b.

Мн-во полож рац чисел можно упорядочить при помощи отнош-я меньше (больше), т.к меньше (больше) явл отношением порядка.

В нач школах (в курсе матем нач школы), дети получают первичное представление о дробях. Причем ознакомление с пон-ем дроби неразрывно связано с ознакомлением уч-ся с пон-ем доля. При ознакомлении с пон-ем дроби, реком сначала ввести пон-е доли, научить ее записывать, научить сравнивать доли с опорой на наглядность и науч решать задачи на нахождение доли числа и числа его по доли. После того, как дети получат представление о пон-ии доли, их знакомят с пон0ем дроби. Они должны научиться образоывать бробь, читая и записывая дроби, сравнивать дроби, решать задачи на нахождение дроби от числа.

Познакомить уч-ся с дробью, это значит:

1. научит детей практически образовывать дробь

2. научить называть дробь и показывать форму записи.

3. сформировать навык сравнивания дробей с опорой на наглядность.

4. познакомить с решением задач на нахождение дроби от числа

Ознакомление уч-ся с образованием дробей должно обяз-но проходить с помощью наглядных пособий. Для этого детям предлаг рассмотреть геом фигуру (круг), раздел этот круг на несколько равных частей (на 4).

Дальше следует показывать ту или иную часть круга и называть ее.

(Каждую часть круга мы заштриховываем. Сколько частей было? Сколько заштриховали?)

Получается запись, называемая дробью, которая читается так: например, ¾ (одна часть не заштрихована), где число,кот находится над чертой назыв числителем, а число под чертой-знамен-лем. Следует подчеркнуть, что число, кот стоит под чертой указывает на сколько равных частей мы разделили целое, а число над чертой указывает, сколько разных частей мы взяли. Аналогично проводится работа по получению других дробей и также записыв и рассказыв, что обозначает каждая дробь. Для того, чтобы дети осознали, что такое дробь, y,[ систематически работать над осозн-ем детьми и пониманием, что означает каждое число в записи дроби.

Термины числ-ль и знам-ль можно вводить, а можно и не вводить, но знание детьми того факта, что знаменатель обозн на ск равных частей разбито целое, а числ-ль-ск таких частей мы взяли, нбх. Также для осознания уч-ся пон-я дроби эффективны след задания:

1) дана иллюстр, по ней записыв и назыв дробь

3/4

То же самое с кругом, заштриховать части дроби 5/8

И в обратном порядке.

2) особо эффективным следует считать такое пособие

Лучше, если полоски будут разного цвета.

Работая с этим пособием можно задавать вопросы: Ск вторых долей в прямоуг-ке? Покажи в соответствующей полосе дробь ¾. Т.к сравнение дробей у уч-ся осущ-ся только с пом наглядн, то данное пособие явл особо эффективным при помощи обучения детей сравнения дробей (покажи ту часть чертежа, кот соотв-ет дроби 3/8, что больше 3/8 или ¼?)

Можно предлагать уч-ся задания, в кот нужно сравнивать не только дроби, но и записывать результат сравнения при помощи матем знаков.

3)т.к при О. детей пон-ю дроби y,[ научить их решать задачи на нахождение дроби от числа, то очень важно также использовать наглядность. Работу по О. уч-ся решению такого рода задач имеет смысл проверять так: длина ленты 16 см, отрезали 3/8 этой длины, чему равна длина на той части ленты, кот отрезали? Уч-ль предлагает изобразить в тетр отрезок соответствующий 16 см ленты, затме уч-ся предлагается изобразить на этом отрезке ту часть ленты, кот отрезали. Уч-ль задает вопрос «Как это сделать?», создавая тем самым проблемную ситуацию. Ч то мы должны сделать в начале? Мы должны этот отрезок разделить на 8 равных частей. Чтобы разделить этот отрезок на 8 равных частей что нужно сделать? Из 8 полученных частей нужно взять 3. Как узнать длину отрезанной части? Что нужно сделать? 16:8*3. Важно подчеркнуть, что данное действие запис при помощи одного выражения. Важно отметить, что в существующих уч-ках по матем в нач шк пон-е дроби изуч-ся по-разному: объемы содерж-я пон-я дроби весьма отлич друг от друга. Если изучение пон-я дроби идет по учебн Петерсон, кроме указанных свыше свойств данного пон-я, рассматривается также действие над дробями с одинак знамен-ми. А кроме задач на нахождение дроби от числа, решают задачи на нахождение числа по его дроби.

28. Понятие «длины», ее измерение.

Изучение величин в 1 кл по программе Л. Г. Петерсон начинается с изучения отрезка и его частей. Первая единица измерения, с к-ой знакомится первоклассник- сантиметр. Важным этапом в формировании представлений отрезков явл использования для этого модели одного сантиметра: узкую бумажную полоску длинной в 1 см., кусочек спички в 1 см., кубик из арифметического ящика с ребром 1 см. Подчеркнуть, что общие для всех рассмотренных предметов явл то, что их длина равна 1 см. Так же они должны представить см. наглядно. Учитель говорит, что две клеточки в тетради = 1 см, ширина мизинца 1 см. С помощью модели сантиметра ученик должен научиться решать две задачи.

Задача № 1. Измерить данных отрезок. При выполнении этого задание учитель следит, чтобы каждый точно приложил конец модели сантиметра к одному из концов измеряемого отрезка. С помощью карандаша на измеряемом отрезке, отметил другой конец модели сантиметра. Приложил снова к полученной отметке один из концов модели сантиметра и на отрезке сделал ещё одну отметку. Вторая отметка показывает то, что отсчитаны 2 см. Аналогично поступаем до тех пор, пока последняя из отметок совпадёт с другим концом измеряемого отрезка. В этом случае ученик, подсчитав число отложенных на отрезке сантиметров(число сделанных шагов), получит длину отрезка(в сантиметрах).Эту задачу можно решить и с помощью укладывания вдоль измеряемого отрезка нескольких моделей сантиметра.

Задача № 2. С помощью модели сантиметра построить отрезок заданной длины. При выполнении этой задачи необходимо следить за тем, чтобы каждый из учащихся: Вначале провёл по линейке прямую линию или выбрал какую-нибудь линию на листе тетради. Отметил на прямой точку(один из концов отрезка) и в каком — ни будь направлении от неё последовательно отложил (каждый раз отмечал карандашом) нужное количество сантиметров. Отмерил карандашом второй конец отрезка. Опыт показывает, что выполнение этих операций, особенно на первых порах, связанно с большими трудностями для учащихся. Это объясняется отсутствием у них навыков владения карандашом и небольшой моделью сантиметра (мышцы пальцев ещё недостаточно тренированы). Именно поэтому с целью получения важных для дальнейшей работы навыков необходимо достаточно долго и систематически повторять указанные упражнения. Это объясняется отсутствием у них навыков владения карандашом и небольшой моделью сантиметра (мышцы пальцев ещё недостаточно тренированы). Именно поэтому с целью получения важных для дальнейшей работы навыков необходимо достаточно долго и систематически повторять указанные упражнения. Процесс откладывания модели сантиметра «прошагивание» от одного конца до другого конца отрезка - создаётся у детей те представления, которые в дальнейшем предотвратят многие ошибки, встречающихся при измерениях. На следующем этапе формирования навыков измерения отрезков упомянутых выше две задачи решаются с помощью масштабной линейки, на которой не нанесены цифры. Построение отрезков следует связать с приобретением навыков обращения с чертёжными инструментами (линейка, угольник, циркуль). Чертёж - это язык техники. В начале при вычерчивание отрезков в тетради концы отрезков могут совпадать с точками пересечения линии листа тетради. Ученики отмечают две точки, прикладывают линейку, в зависимости от расположения точек. Позднее точки, обозначающие концы отрезков, могут быть поставлены вне линий листа тетради. Это готовит детей к вычерчиванию отрезков на нелинованной бумаге. Знакомство школьников с новой единицей измерения длины - дециметром - начинается в связи с изучением чисел второго десятка в 1 кл. Естественно, что необходимость введения новой единицы должна быть обоснована. С этой целью учащимся предлагается отрезок длиной 90 см., для измерения которого обычная ученическая линейка длиной 20 см., коротка. Воспользовавшись затруднением, учитель знакомит детей с дециметром. Он показывает полоску (палочку) длиной в 1 дм. и, прикладывая ее к шкале линейки, говорит, что 1 дм = 10 см Учащиеся знакомятся с сокращенной записью 1 дециметр - 1 дм, учатся читать записи: 3 дм, 5 дм, 15 дм и т.д. Затем рассматривается случай, когда длина отрезка равна, например, 12 см; она больше 1 дециметра, но меньше 2 дециметров. Учи гель объясняет в таком случае и говорит: «длина отрезка равна одному дециметру и двум сантиметром» Он показывает, что это записывается так 1 дм 2 см. Научившись, практикуются и вычерчивании отрезков длиной в 1 дм 5 см, 1 дм 9 см. одновременно ставя «А сколько это будет см?» По аналогии с тем.дался дециметр, ставится задача, которая вводится в необходимости ввести ещё одну, более крупную единицу измерения - метр. Показывается деревянный метр, различные отрезки длиной в 1 метр. После решения задач, связанных с измерением отрезков метром, можно установить соотношение между метром и дециметром, метром и сантиметром.

Для усвоения соотношений между единицами длины предлага­ются упражнения: -на измерение; -на построение отрезков определенной длины, выраженной в единицах двух наименований; -на перевод величин, выраженных в одних единицах, в другие единицы измерения; -на сравнение однородных величин, выраженных в единицах различных наименований.

Длина - особое свойство объекта иметь протяженность. Длиной отрезка называется неотрицательная величина, обладающая следующими свойствами:

- равные отрезки имеют равные длины;

- если отрезок состоит из нескольких отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

Для того чтобы измерить отрезок, нужно выбрать единицу длины.

Стандартные единицы длины: мм, см, дм, м, км.

Методика формирования представлений о длине отрезков.

Оз­накомление с единицами длины и их соотношением. Единицы длины: мм, см, дм, км

1. Формирование представления о данной величине. Сравниваем предметы по длине. Они могут быть длиннее, короче, равны по длине. Знакомимся с отрезком - носителем линейной протяженности. Сравниваем их визуально, наложением, приложением, с помощью различных мерок.

2. Вводим единицу длины - см.

Цель: познакомить с единицей измерения длины - см. Научить измерять отрезки с помощью линейки.

Оборудование:

- Модели сантиметров.

- Линейки.

- Полоски для измерения.

Основной метод изучения - практический. На уроке ситуация проблемного характера. Какой отрезок длиннее?

Для измерения длины нужно пользоваться одной и той же мер­кой. Для измерения маленькой длины пользуемся сантимет­ром. Модель сантиметра показывают детям. 1 см Сокращенно записываем так: см.

3. Знакомство с линейкой.

Обратите внимание на деление «0». Это начало измерения. Учим измерять с помощью линейки. Измеряем различные по­лоски.

На этом уроке учитель рассказывает исторические сведения о старинных единицах измерения длины (учебник Петерсон Л.Г.) Позднее вводится дециметр.

Сравниваем дм и см и устанавливаем соотношение: 10 см = 1 дм

Учим измерять в см и дм, переводить дм в см и см в дм.

Затем дети знакомятся с метром по плану:

- Повторение ранее изученных единиц измерения (см, дм).

- Знакомство с новой единицей измерения наглядно.

- Сравне­ние новой единицы измерения с ранее изученными.

- Составление таблицы.

4. Преобразование единиц измерения (мелких в крупные, крупных в мелкие).

5. Действия: сложение и вычитание величин.

Километр: использовать карту.

Миллиметр: использовать миллиметровую бумагу.

На этом уроке составля­ется таблица: 1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см, 1м=10дм=100см, 1км= 1000м

29. Понятие «площади», ее измерение.

Задачи:

- Познакомить с понятием “площадь”

- Познакомить и научить пользоваться различными способами измерения площади

- Ввести понятие “единиц площади” и соотношение между ними

При ознакомлении необходимо опираться на практическое представление учащихся, что такое площадь.

Под площадью фигуры понимается такая положительная скалярная величина, которая определяется так:

- Равные фигуры имеют равные площади;

- Если фигура составлена из двух частей, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.

Для того, чтобы измерить площадь фигуры её надо сравнить с площадью такой фигуры, площадь которой принята за единицу площади. В результате сравнения площади измеряемой фигуры с единицей площади получено некое действительное положительное число, которое называется численным значением измеряемой площади.

ME2 S(F)=X

S(F)=x*E2, где E2 – единица площади.

Из определения площади следуют свойства численных значений площадей:

Если фигуры равны, то численные значения их площадей равны при выбранной одной и той же единице площади. Те фигуры, которые имеют равные площади, наз. равновеликими.

Если фигура F составлена из фигур F1 и F2, то численное значение фигуры F будет равно сумме численных значений площадей F1 и F2 при одной и той же единице площади.

Численное значение площади квадрата, которое принимается за единичный, равно единице.

Если происходит замена единицы площади, то численное значение площади измеряемой фигуры изменяется, причём оно увеличивается во столько раз, во сколько раз новая единица площади меньше старой, и уменьшается во столько раз, во сколько раз новая единица площади больше старой.

В практической деятельности для измерения площадей фигур используются общестандартные единицы площади, такие как см2, дм2 и т.д.

Соотношение между некоторыми единицами площади:

1дм2 = 100см2

1см2 = 100мм2

1м2 = 10 000см2

1м2 = 100 дм2

Но существуют особые единицы площади с помощью которых измеряются площади различных земельных участков:

1га = 10 000м2

1 ар(а) = 100м2

Неразрывно с понятием площади связано понятие равносоставленные фигуры.

Равносоставленными фигурами называются фигуры состоящие из соответственно равных частей.

Если фигура равносоставлены, то они равновелики.

Известна следующая теорема Бойяи – Гервина: Два любых равновеликих многоугольника равносоставлены.

Существуют различные способы измерения фигуры. К одному такому способу относится измерение площади фигуры при помощи палетки.

Палетка представляет собой прозрачное полотно разделённое на равные между собой квадраты.

Для того чтобы измерить площадь фигуры с помощью палетки её накладывают сверху на ту фигуру, которую нужно измерить. Следует отметить, что измерению площади фигуры при помощи палетки уделяется особое внимание в начальной школе. Учащимся предлагается самостоятельно на уроке труда изготовить инструмент для измерения площади криволинейной фигуры.

Для того чтобы измерить площадь фигуры с помощью палетки, сначала подсчитывается количество квадратов, которые находятся полностью в границах измеряемой фигуры. Затем, подсчитать количество квадратов, которые не полностью находятся в границах фигуры, площадь которой измеряется. Полученное таким образом количество квадратов делится на 2 и прибавляется к тому количеству квадратов, которые полностью находятся в границах фигуры площадь которой измеряется. В результате мы имеем численное значение площади при единичной величине, которая представлена площадью квадрата использованного в палетке. Это неточное измерение; причём точное измерение зависит от величины квадратов на которые разделено полотно палетки.

Измерение фигуры с помощью палетки относится к прямым способам измерения площади.

Изучению понятия площади в курсе математики в начальной школе уделяется достаточно много внимания. Основой для изучения площади в курсе математики в начальной школе лежит представление о площади в их практической жизни. Они уже имеют представление о площади комнаты, стола, участка и т.д. Поэтому определение площади в явном виде учащимся начальной школы не даётся, но зато через выполнение практических заданий их представление о содержании понятия площади постепенно расширяется.

Сначала они выполняют те или иные задания, связанные со сравнением площадей различных фигур, причём они выполняются в визуальном плане. Затем учащиеся знакомятся с единицей площади, рассматривая их как площади квадратов длины сторон, которые равняются единице длины. Так под см2 следует понимать площадь квадрата, сторона которого равна 1 см., под дм2 – 1дм.

Очень важно демонстрировать учащимся модели единицы длины.

Используя различные модели единицы площади можно эмпирическим путём находить соотношение, которое существует между различными единицами площади.

Пример: Для того, чтобы дети узнали, что в 1дм2 находится 100см2, им следует предложить задания связанные с измерением площади квадрата со стороной в 1дм с помощью см2. В результате учащиеся в состоянии подсчитать, что в 1 дм2 100см2.

Понятие площади изучается в курсе математики в начальной школе постепенно, кроме измерения площади с помощью палетки, дети знакомятся и с другими, так называемыми, косвенными способами измерения площадей некоторых фигур, таких например, как прямоугольник, квадрат.

Эмпирическим путём, рассуждая методом неполной индукции, дети получают формулы для нахождения площади прямоугольника, в частности квадрата. Получив эти формулы, учащиеся для того чтобы найти площадь прямоугольника (квадрата) измеряют длины сторон прямоугольника и находят площадь.

Очень важно, что учащимся предлагается находить площади не только прямоугольника, но и площади других фигур, которые составлены их прямоугольника. Очень важно поощрять детей в нахождении площади этих фигур различными способами.

То разнообразие, которое представлено в задании по работе с площадями различных фигур, можно увидеть в учебниках, автором которых является Наталья Борисовна Истомина.

30. Методика ознакомления с понятиями: точка, отрезок, прямая, кривая, прямоугольник, квадрат.

Основой формирования у детей представлений о геометр фигурах явл способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать разл геометр фигуры: точку, прямую, кривую, ломаную, отрезок, угол, многоугольник, квадрат, прямоугольник и т. д. Для этого достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином. Например: это – отрезки, это – квадраты, это – круги, это – пря­моугольники.

Восприятие геометрической фигуры как целостно­го образа – лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка. В дальнейшем необходимо сосредоточить его внимание на выделении тех элементов, из которых состоят геометрические фигуры, и на их существенных признаках. Для этой цели геометрические фигуры изучают в определенной после­довательности, выполняя с моделями различные практические действия.

Аналогично следует действовать и при проведении прямой ли­нии через две точки. Дети могут самостоятельно справиться с ре­шением этой задачи, перегибая лист бумаги так, чтобы линия сги­ба проходила через данные точки. Это позволит им практически убедиться в том, что через две точки можно провести только одну прямую.

Для проведения прямых линий необходимо пользоваться ли­нейкой. Дети сами могут убедиться в этом практически.

При знакомстве с отрезком следует выделить такие его призна­ки, ориентируясь на которые школьники могли бы легко узнавать эту геометрическую фигуру. Для этого прежде всего нужно обра­тить их внимание на то, что отрезок имеет начало и конец и что его следует проводить по линейке. Если учеников познакомить с от­резком после введения понятия «длина», то, помимо названных признаков данного понятия, стоит отметить, что у любого отрезка можно измерить его длину. Дети могут самостоятельно прийти к выводу, что те прямые линии, которые ими выделены на различ­ных фигурах, по сути дела являются отрезками, так как в них фик­сируются начало и конец. Ориентируясь на рассмотренные при­знаки отрезков, учащиеся находят их на различных геометрических фигурах: плоскостных и объемных.

Для формирования у детей представления об угле, в основе которого лежит данное определение, можно воспользоваться мо­делями угла.

При знакомстве с острыми и тупыми углами используются модели трех видов. А именно: если на модель прямого угла накладывается модель острого угла т., чтобы одна сторона этих моделей совместилась, то др сторона острого угла пройдет внутри прямого; а в случае наложения тупого угла, его др сторона пройдет вне данного прямого угла.

Прямые, острые и тупые углы ученики выделяют на различных фигурах, пользуясь для этого заранее заготовленными моделями. При этом рассуждения можно построить по отношению к прямому углу.

Определенную трудность для младших школьников представ­ляет осознание того, что любой квадрат является прямоугольни­ком. Причина в том, что целостный образ квадрата и прямоуголь­ника уже сложился у большинства детей, а умением выделять су­щественные признаки фигуры они еще не овладели.

Выделяются четырехугольники, у которых все уг­лы прямые. Они имеют название - прямоугольники. Среди прямо­угольников можно выделить такие, у которых все стороны равны. Это квадраты. Отношения между понятиями многоугольник, четырехугольник, прямоугольник, квадрат.

Младшие школьники проявляют большой интерес к изучению геометрического материала, легко запоминают названия геометри­ческих фигур и выделяют их свойства в процессе практических действий с ними.