Методика ознакомления с правилом деления суммы на число и числа на произведение

В начальном курсе математики теоремы о делимости суммы «представлены» в виде св-ва «Деление суммы на число». Это св-во используется при делении двузначного числа на однозначное.

В учебнике М2М методика знакомства детей с данным свойст­вом аналогична методике изучения свойства умножения суммы на число. А именно: сначала учащиеся анализируют два способа ре­шения задачи, используя для этой цели рисунок, затем на конкрет­ном примере разъясняются два способа действия при делении суммы на число, т. е. рассматривается тот случай, когда каждое слагаемое делится на данное число.

Рассмотри два способа решения примера: (6+9):3;

Вычислисумму и раздели полученный результат на число: (6+9):3=15:3=5;

Раздели на число каждое слагаемое, а потом сложи полученные результаты: (6+9):3=6:3+9:3=2+3=5. Сравни результаты.

Новый способ действия закрепляется в процессе выпол­нения упражнений: Вычисти значение каждого выражения двумя способами: (10+4):2, (8+12):4, (12+15):3.

В учебнике М2И для знакомства учащихся со свойством деле­ния суммы на число использован другой методический подход.

Учащимся предлагается такое задание: Догадайся! По какому правилу записаны выражения в каждом столбике? Вычисли их значения: 54:9 (36+18):9 36:9+18:9; 63:7 (49+14):7 49:7+14:7.

В процессе выполнения этого задания учащиеся осознают но­вый способ действия. А именно: делимое представляется в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное чис­ло, затем на это число делится каждое слагаемое и полученные результаты складываются. Для усвоения нового способа действия выполняются различные задания. При этом выражения, используемые в заданиях, включа­ют только табличные случаи деления, поэтому учащиеся не испы­тывают затруднений в применении нового способа действия.

24. Методика ознакомления с понятием «уравнение».

В курсе математики в начальной школе дети знакомятся со следующими алгебраическими понятиями:

- числовое выражение;

- выражение с переменной;

- равенство и неравенство;

- уравнение.

Объемы содержаний изучаемых понятий варьируются в зависимости от методик, которые использует учитель на своих уроках. Содержание этих понятий, изучаемых в курсе школы, может быть больше или меньше.

Задачи, стоящие перед учителем:

1) Сформировать представление у учащихся об указанных понятиях.

2) Раскрыть их содержание.

Понятие уравнение является одним из основных алгебраических понятий, изучаемых в курсе математики в начальной школе. В начальной школе рассматриваются только уравнения 1й степени с одним неизвестным, причем по большинству методик рекомендуется знакомить детей исключительно с простейшими уравнениями.

Простейшими уравнениями считаются уравнения, в которых для нахождения корня достаточно выполнить единственный шаг. Но по некоторым другим методикам, кроме указанных уравнений рекомендуется познакомить учащихся с более сложными уравнениями типа:

x+12=58-16

(x+12)-4=58

(x+12):3=24

В основе решения уравнения в начальной школе лежит связь между компонентами арифметических действий и их результатом.

Задачи, стоящие перед учителем:

- познакомить учащихся с понятием уравнения и его решением;

- сформировать осознанный навык решения уравнений.

Подготовительная работа:

Предлагать учащимся начальной школы для решения уравнения в неявном виде, т.е. предлагать запись вида:

+3=12

Вставь в окошко пропущенное число, чтобы получилось верное равенство.

Такое задание можно предлагать на различных этапах обучения в начальной школе. В зависимости от того, на каком этапе обучения предлагаются указанные задания, учащимся можно действовать 2мя способами:

1. Если дети еще не знают связей между компонентами действий и их результатами, то они выполняют указанные задания методом подбора. Т.е. подставляют в окошко различные числа и проверяют верно ли равенство.

2. Если указанные задания предлагаются, когда дети уже знакомы со связями между компонентами действий и их результатами, то находят, пользуясь этой связью.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что на этапе подготовки учащихся к ознакомлению с понятием уравнения, они знакомятся с уравнением в неявном виде и способом решения уравнений методом подбора => 2й способ решения уравнений – способ подбора.

Так же к подготовительному этапу следует отнести ознакомление учащихся начальной школы с компонентами различных арифметических действий, их результатами и связью между ними. Если ознакомление учащихся с данными понятиями не пройдет на должном уровне и дети осознано не усвоят правила нахождения неизвестных слагаемых, вычитаемого, уменьшаемого и т.д., то ознакомление с решением уравнения не пройдет на должном уровне. В течение всего процесса изучения математики на начальном уровне до момента знакомства с уравнением нужно проводить работу, направленную на формирование у учащихся твердых умений и навыков по нахождению неизвестных компонентов арифметических действий.

Знакомство с понятием уравнение.

Детям предлагается запись:

+3=12

Затем сообщается, что в математике неизвестное число принято обозначать специальными буквами, основной из которых является «х».

Далее показывается новая форма записи:

х +3=12

и сообщается, что представленное равенство называется уравнением. Для того чтобы у детей сформировать понятие уравнение, нужно предложить ряд выражений:

х -1=5

3+4=7

5•2>9

7•5+4

x +8

x +6=10

6•2=12

Дети должны из указанных объектов выявить те, которые являются уравнениями, объяснив свой выбор. При этом они должны указать существенные свойства уравнений (равенство, есть х).

Одновременно с понятием «уравнение» у детей формируется представление о том, что значит решить уравнение. Они должны полностью осознать тот факт, что решить уравнение – это найти такое число, которое при подстановке в уравнение вместо неизвестного превращает последнее в верное числовое равенство. Понятие «корень уравнения» не вводится, хотя определенные методики допускают введение указанного термина (по Эльконину-Давыдову).

Уже на этапе изучения уравнения в начале неплохо заняться пропедевтикой понятия «область определения уравнения». Особенно эффективно такая работа проводится…

х -10=2 (нельзя 9, т.к. …)

15:х=5 (нельзя 5, т.к. …)

При рассмотрении такого рода уравнений делается вывод, что далеко не каждое число может быть решением указанных уравнений.

Для того чтобы работа по изучению уравнений была эффективной, детям необходимо предлагать уравнения с разнообразными заданиями:

- реши уравнение и выполни проверку;

- выполни проверку решаемых уравнений, найди ошибку;

- составь уравнения с числами: х, 10, 12

х+10=12

10+х=12

х:10=12

12-х=10 и т.д.

- из заданных уравнений решите только те, которые решаются при помощи действия вычитания:

5+х=12

х-4=

2•х=6

10-х=8 и т.д.

- из заданных уравнений решите только те, которые решаются при помощи сложения;

- детям дано уравнение, в котором пропущен знак действия

х? 3=30

и дано решение

х=3+30

Особое внимание при рассмотрении понятия уравнение следует уделить проверке. Очень важно, чтобы при выполнении проверки решения уравнений учащиеся подходили к этой работе не формально, а осознано. Для этого им следует предлагать проблемные ситуации, в которых нужно выполнять конкретные действия по проверке решенных уравнений, а именно предлагать уже решенное уравнение и просить, не решая его, установить, сделана ли ошибка или нет. Чтобы контролировать действия учащихся в данном процессе необходимо предлагать их рассказывать о своих действиях вслух.

25. Методика ознакомления с понятием «выражение» (числовые выражения и выражения с переменной).

В курсе математики в начальной школе дети знакомятся со следующими алгебраическими понятиями:

- числовое выражение;

- выражение с переменной;

- равенство и неравенство;

- уравнение.

Объемы содержаний изучаемых понятий варьируются в зависимости от методик, которые использует учитель на своих уроках. Содержание этих понятий, изучаемых в курсе школы, может быть больше или меньше.

Задачи, стоящие перед учителем:

1) Сформировать представление у учащихся об указанных понятиях.

2) Раскрыть их содержание.

ЧИСЛОВОЕ ВЫРАЖЕНИЕ.

Задачи:

1) Научить читать и записывать числовые выражения.

2) Познакомить с правилами порядка выполнения действий в выражениях. Научить ими пользоваться при вычислениях.

3) Научить детей выполнять некоторые тождественные преобразования выражений.

Ознакомление учащихся с понятием числовое выражение происходит с первых дней обучения в школе с вводом того или иного арифметического действия.

Знакомство детей начальной школы с понятием действия сложения: детям показывается то числовое выражение, которое называется суммой. Учитель должен помнить, что знак действия, поставленный между числами, имеет двоякий смысл. С одной стороны он показывает действия, которые следует выполнять над числами, а с другой стороны показывает обозначение данного числового выражения. Отсюда понятие «числовые выражения» неразрывно связано с понятием «арифметические действия» и при формировании этих понятий одно способствует формированию другого.

Ознакомление с числовыми выражениями происходит постепенно, причем сначала учащиеся знакомятся с простейшими выражениями (с одним знаком действия), а потом с более сложными выражениями (2 и более действий). Очень важным этапом является этап сравнения выражений. Через сравнение выражений дети знакомятся с такими понятиями как равенство и неравенство.

По мере усложнения выражений для нахождения их значений возникает необходимость ознакомления учащихся начальной школы с правилами выполнения действий в выражениях.

Осуществление знакомства с этими правилами происходит тоже постепенно:

1) Сначала дети знакомятся с правилом осуществления действий в выражении, в которое включены действия одной ступени, причем отсутствуют скобки.

2) Затем учащиеся знакомятся с правилами выполнения действий в выражениях с действиями одной ступени и скобками.

3) Затем – выражения с действиями разных ступеней, но без скобок.

4) Затем – выражения с действиями двух ступеней и скобками.

Ознакомление со всеми правилами происходит следующим образом: учитель сообщает – дети должны запомнить.

Для того, чтобы дети усвоили введенные правила, им следует предлагать разнообразные задания:

1) Вычисли значение данного выражения, предварительно указав порядок действий.

2) Расставь скобки, чтобы получились верные равенства.

60-20+30:5=50

60-20-30:5=46

60-20+30:5=14

3) Из заданных пар примеров выпишите только те, в которых вычисления выполнены по правилам порядка действий.

20+30:5=10

20+30:5=25

42-12:6=40

42-12:6=5

После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки изменить выражение так, чтобы оно имело заданное значение.

4) Детям предлагается указать порядок действий в следующих записях:

(+):-х

(-)х(+)

Особое внимание при формировании понятий числовых выражений следует обратить на выполнение детьми тождественных преобразований (преобразование является тождественным, если из одного выражения получается другое выражение ему тождественно равное).

Тождественные преобразования, которые выполняют учащиеся начальной школы:

1) Замена +, -,:, х их значениями.

2) Перестановка слагаемых.

3) Раскрытие скобок.

В основе всех тождественных преобразований, которые выполняют учащиеся начальной школы лежат правила выполнения действий над числами и свойства тех или иных арифметических действий (переместительное, сочетательное, распределительное, правило умножения суммы на число, правило вычитания суммы из числа, действия с 0 и 1 и т.д.)

При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по разному, но значения выражений при этом не изменятся.

В дальнейшем те или иные свойства учащиеся используют для тождественных преобразований выражений.

Работу при этом рекомендуется строить так:

1) ученик читает выражение;

2) вспоминает соответствующее свойство;

3) опираясь на это свойство, выполняет преобразование выражения.

Для того, чтобы убедиться в правильности выполняемых преобразований, учащимся рекомендуется найти значение того же выражений другим способом.

Если получаемое значение совпадает с первым, то преобразование выполнено правильно.

Для развития математической речи и осознанного выполнения преобразований необходимо предлагать детям дать объяснение выполняемых действий.

ВЫРАЖЕНИЕ С ПЕРЕМЕННОЙ.

Задачи:

1) Дать представление о выражениях, содержащих переменную.

2) Научить находить значение выражения при различных значениях переменного.

Изучая математику в начальной школе, учащиеся на различных этапах сталкиваются с выражениями с переменными. Знакомство с этими математическими понятиями и работа с ними позволяет обобщить у учащихся понятие выражение.

Хорошей подготовкой является задание, где переменная представлена в неявном виде (пустое окошко, точки)

Например: 3+

Вставь в окошко каждое из следующих чисел 1, 2, 3, найди сумму.

или

:2

Постепенно детей приводят к мысли о том, что в математике вместо пропущенного числа можно записать букву, и, придавая букве те или иные значения, получить различные значения выражения.

Так же значения с переменными используются при знакомстве с формулами для нахождения периметра и площади.

Следует отметить, что объем получаемых знаний у учащихся по указанной теме отличается друг от друга в зависимости от учебника математики.

Например:

Петерсон, Истомина, Александрова – объем и содержание выражений с переменной значительно расширены, активно используются (формирование у учащихся свойств арифметических действий)