Основные определения. Матрица квадратичной формы

Пусть , где , – симметричная матрица порядка n, и пусть .

Рассмотрим числовую функцию , аргументом которой является вектор , обозначим эту функцию .

Запишем в координатном виде:

,

i -я координата полученного вектора равна

.

Умножим полученный вектор скалярно на вектор , получим :

,

,

. (*)

Определение. Скалярная функция векторного аргумента , где А – симметричная матрица порядка n, , называется квадратичной формой, а матрица А – матрицей квадратичной формы.

Выражение (*) является координатной записью квадратичной формы.

Пример 1. Записать в координатном виде квадратичную форму c матрицей

,

,

,

.

Вообще говоря, квадратичную форму по ее матрице выписывают без промежуточных вычислений: элементы главной диагонали матрицы являются коэффициентами при квадратах переменных; элемент – есть коэффициент при произведении, и ввиду симметричности матрицы А:

,

а потому в коэффициент при произведении равен .

Можно решить и обратную задачу: по данной квадратичной форме выписать ее матрицу.

Пример 2. Выписать матрицу квадратичной формы

.

; ; (коэффициенты при и . ).

(коэффициенты при и ).

(коэффициенты при и ).

(коэффициенты при и ),

итак

.

Итак, квадратичная форма , является многочленом второй степени
от n переменных, не содержащем свободного члена и членов первой степени; причем, подобные и таковы, что .

Каждая симметричная матрица определяет некоторую квадратичную форму и обратно: каждой квадратичной форме ставится в соответствие ее симметричная матрица.

Квадратичная форма – функция координат вектора , а значит ее вид зависит от базиса в , в котором задан вектор .