Преобразование матрицы при линейной замене переменных

В этом параграфе мы рассмотрим, как преобразуется матрица А квадратичной формы при переходе из одного базиса к другому.

Напомним, что замена одного базиса другим задается матрицей перехода С, столбцы которой есть координаты “нового” базиса по “старому”. При этом координаты произвольного вектора: меняются следующим образом:

, где

– вектор-столбец “старых” координат, а – вектор-столбец “новых” координат.

Запишем эту замену переменных:

, (*)

здесь переменные представлены как линейные функции (точнее, линейные формы) от новых переменных . Подставляя выражение (*) в квадратичную форму

,

мы получим новую квадратичную форму, зависящую от переменных с матрицей В:

.

Нас интересует связь между матрицами А и В.

Формулы (*) задают линейное преобразование, сопоставляющее каждому вектору вектор . Матрицу С называют матрицей линейного преобразования. В нашем случае это матрица перехода, следовательно невырождена, и тогда осуществляет обратное линейное преобразование

.

Итак, как меняется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании ?

Теорема. При линейной замене переменных квадратичная форма переходит в квадратичную форму

,

где матрицы А и В связаны соотношением:

,

где – транспонированная матрица С.

Наша дальнейшая цель состоит в том, чтобы путем перехода к переменным получить квадратичную форму более простого вида.