Ортогональная матрица

Пусть – базис в пространстве , а – другой базис того же пространства. Векторы однозначно выражаются через базис :

или

.

Запишем координаты вектора по базису в k -й столбец матрицы А:

.

Напомним, что эта матрица называется матрицей перехода от базиса к базису . Матрица А невырождена, так как ее столбцы – координаты базисных векторов , следовательно существует обратная матрица , которая является матрицей перехода от базиса к базису .

Рассмотрим частный случай когда и два ортонормированных базиса в и .

Обозначим матрицу перехода U,

.

Матрица U обладает следующими свойствами: ее вектор-столбцы образуют ортонормированный базис в , т.е.

а) ,

б) .

Определение. Квадратная матрица порядка n, столбцы которой удовлетворяют условиям , называется ортогональной.

Перечислим основные свойства ортогональной матрицы U:

1. Строки матрицы U (как и ее столбцы) образуют ортонормированный базис в .

2. , т.е. вычисление обратной матрицы для U сводится к ее транспонированию.

3. для всех .

Это свойство означает, что скалярное произведение при действии ортогональной матрицы U на векторы сохраняется, а значит сохраняются длины векторов и углы между ними.

Любое из перечисленных свойств может служить определением ортогональной матрицы.
Мы будем придерживаться первоначально данного определения.

Рассмотрим примеры.

1. В пространстве поворот на угол по часовой стрелке задается матрицей перехода

.

Легко проверить, что матрица ортогональна. Из геометрических соображений очевидно, что длины векторов и углы между ними при таком преобразовании сохраняются.

2. В пространстве рассмотрим преобразование – отражение вектора относительно оси ОХ (рисунок 5).

Рисунок 5

При таком преобразовании базис перейдет в базис , . Тогда, матрица перехода А от базиса к базису имеет вид:

.

Очевидно, это преобразование сохраняет длины векторов и углы между ними, а матрица перехода А ортогональна.

В заключение посмотрим, как меняются координаты вектора при переходе от одного базиса к другому.

Пусть в заданы два базиса и . Обозначим С матрицу перехода от старого базиса к новому базису , т.е. , . Выберем произвольный вектор , разложим его по “старому” базису:

.

Аналогично, разложение этого вектора по “новому” базису имеет вид:

.

Зависимость между “старыми” координатами и “новыми” вытекает из следующей цепочки равенств:

.

Так как разложение вектора по базису единственно, то получаем

, . (*)

Обозначим векторы–столбцы старых и новых координат соответственно

и , ,

тогда равенство (*) можно записать так:

. (**)

Итак, чтобы получить координаты вектора в “старом” базисе необходимо его вектор–столбец “новых” координат умножить слева на матрицу перехода из старого базиса в новый. Так как матрица С имеет обратную , то умножив равенство (**) слева на матрицу , получим выражение “новых” координат через “старые”:

.

Пример. “Старый” базис в пространстве (на плоскости) – “новый” базис получен из “старого” поворотом на угол по часовой стрелке (рисунок 6, 7). Матрица перехода от базиса к базису

.

Пусть вектор в базисе имеет координаты . Найдем координаты в базисе (рисунок 6, 7).

, , т.е. , .

Рисунок 6 Рисунок 7