незачтенные работы не оформлять заново (если на необходимость этого не указано рецензентом). Исправленные решения задач приводятся в конце работы. 8 страница

Решение. Область V изображена на рисунке, где цифрами 1, 2 обозначены параболический цилиндр y=8-2x² и плоскость z=2x+y соответственно; остальные уравнения отвечают координатным плоскостям.

y

8 - B

V 2

1 4 -

D

S

0 C

Объем области посредством тройного интеграла запишется

Приведем интеграл к повторному

.

Через обозначены аппликаты точек (см. рис.), вычисленные из уравнений плоскости и плоскости , т.е. , . Через обозначена область плоскости , на которую проецируется область . Поэтому при сведении двойного интеграла по области к повторному ординаты точек вычисляются из уравнения и уравнения линии, являющейся пересечением цилиндрической поверхности и плоскости т.е. уравнения Искомый объем равен

Задача 4.10. Вычислить: а) заряд проводника, располагающегося вдоль кривой , с плотностью с помощью криволинейного интеграла первого рода; b) работу силы вдоль траектории L от т. A до т. B с помощью криволинейного интеграла второго рода.

- четверть окружности между А(3,-3), В(5,-1). (2) - дуга параболы от А (0,1) до В (1,-1).

Решение. а). Заряд q проводника, имеющего плотность заряда вычисляется по формуле

.

(1). Окружность удобно задать в параметрическом виде:

.

Участку L соответствуют значения параметра где

откуда Криволинейный интеграл выражается через определенный

причем верхний знак выбирается при и нижний - при

В данной задаче

(2). Для дуги параболы L удобнее использовать частный случай формулы при

Для имеем

Используем подстановку

Тогда

б). Работа силового поля с компонентами вдоль траектории АВ запишется

(1). Для четверти окружности приведем интеграл к определенному по формуле

(2). Для дуги параболы

Задача 4.11. Вычислить расход жидкости с полем скоростей , протекающей за единицу времени через часть плоскости лежащей в первом октанте. Единичная нормаль направлена вне начала координат.

Решение. Искомый расход дан формулой

.

Единичная нормаль к плоскости имеет компоненты

.

Поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл

,

где уравнение поверхности записано в явном виде:

.

Область является проекцией на плоскость и ограничена линиями

.

Внося в двойной интеграл заданные функции, находим

.

Последний запишется через повторный интеграл

С о д е р ж а н и е

1.	Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики........................
2.	Типовые программы курса «Высшая математика». Рекомендуемая литература...............................
	2.1.	Программа курса «Высшая математика» для инженерных специальностей..............................................
	2.2.	Программа курса «Высшая математика» для экономических специальностей..............................................
3.	Контрольные работы.......................................
	3.1.	Правила оформления контрольных работ........................
	3.2.	Выбор варианта контрольной работы...........................
	3.3.	Задания контрольных работ...................................
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 1................................
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 2................................
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3................................
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 4................................
4.	Примеры решения задач контрольных работ...........
	4.1.	Решение типового варианта контрольной работы № 1.............
	4.2.	Решение типового варианта контрольной работы № 2.............
	4.3.	Решение типового варианта контрольной работы № 3.............
	4.4.	Решение типового варианта контрольной работы № 4.............

Учебное издание

Высшая математика

Программа, методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников инженерных и

инженерно-экономических специальностей

приборостроительного факультета

В 2-х частях

Ч а с т ь I

Составители: ИБРАГИМОВ Владислав Ахмедович

СТРЕЛЬЦОВ Сергей Викторович

МЕЛЕШКО Алексей Николаевич

ВИШНЕВСКАЯ Ольга Геннадьевна

Редактор Т.Н.Микулик

Подписано в печать 21.01.2000.

Формат 60х84 1/16. Бумага тип. № 2. Офсет. печать.

Усл.печ.л. 5,9. Уч.-изд.л. 4,5. Тираж 200. Заказ 544.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Белорусская государственная политехническая академия.

Лицензия ЛВ № 155 от 30.01.98. 220027, Минск, пр. Ф.Скорины, 65.