незачтенные работы не оформлять заново (если на необходимость этого не указано рецензентом). Исправленные решения задач приводятся в конце работы. 7 страница

4.3. Решение типового варианта контрольной работы N 3

Задача 3.1. Найти градиент и уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке .

.

Решение. Обозначим

Тогда

;

.

Величина градиента

.

Уравнение касательной плоскости, имеющей нормальный вектор (7,-4,-19) и проходящей через , запишется

,

или

.

Нормальная прямая имеет направляющий вектор (7,-4,-19) и проходит через , поэтому ее уравнения

.

Задача 3.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D, ограниченной заданными линиями:

Решение. Область D показана на рисунке (треугольник OAB).

y

B(0,6)

D

1 С

0 2 A(3,0) x

Cтационарные точки являются решениями системы уравнений

,

откуда находим точку , принадлежащую, как видно из рисунка, области . В этой точке . (2)

Исследуем функцию на границе области D.

Отрезок ОА. Здесь и Стационарные точки определяются из уравнения откуда В этой точке

. (3)

На концах отрезка

, . (4)

Отрезок АВ. Здесь и Из уравнения находим и

. (5)

При имеем

. (6)

Отрезок ОВ. Здесь Поскольку при функция не имеет стационарных точек. Значения ее при были вычислены в (4), (6).

Из результатов (2)-(6) заключаем, что

причем наибольшее значение достигается в точке А(3,0), наименьшее - в точке С(2,1).

Задача 3.3. Найти полный дифференциал функции

Решение. Частные производные равны

Поэтому

.

Задача 3.4. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка:

Затем, дифференцируя найденные частные производные, получим частные

производные второго порядка данной функции:

Задача 3.5. Вычислить значение производной сложной функции

где

,

при с точностью до двух знаков после запятой.

Решение. Так как сложная функция зависит от одной переменной через промежуточные переменные и , которые в свою очередь зависят от одной переменной то вычисляем полную производную этой функции по формуле

.

.

Вычислим и при :

.

Подставим значения в выражение производной. Получим

.

4.4. Решение типового варианта контрольной работы № 4

Задача 4.1. С помощью интегрирования по частям вычислить неопределенный интеграл от функции вида

Решение. Поскольку

искомый интеграл равен

Задача 4.2. Вычислить неопределенный интеграл с помощью разложения на простейшие дроби подынтегральной функции

Решение. Поскольку степень многочлена в числителе не меньше степени знаменателя, следует выполнить деление:

.

Правильную дробь разложим на простейшие дроби

.

Методом неопределенных коэффициентов находим

,

откуда

.

Решая эту систему уравнений, имеем

.

Искомый интеграл равен

Задача 4.3. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции .

Решение. Выполним подстановку Разрешая уравнение относительно , находим: .

Тогда искомый интеграл запишется:

Разлагая подынтегральное выражениe на простейшие дроби

и раскрывая скобки в равенстве

,

приходим к соотношению

Система уравнений относительно запишется

Решая ее методом Гаусса, находим

Искомый интеграл равен:

.

Задача 4.4. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции .

Решение. Универсальной является подстановка для которой нетрудно проверить равенства

Поэтому искомый интеграл сводится к случаю интегрирования рациональной дроби

. (7)

Однако в ряде случаев более удобны подстановки:

(1) Тогда ;

(2) Тогда ;

(3) Тогда .

Подстановки 1,2 приводят к подынтегральным выражениям, содержащим радикал, и поэтому нецелесообразны. Для подстановки 3 приходим к интегралу, более простому, чем (7), и легко приводящемуся к табличному:

.

Задача 4.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Решение. а). Рассмотрим вспомогательную функцию на отрезке Площадь вычисляется по формуле

Исследуем Очевидно, что Поскольку

,

нетрудно проверить, что достигает в точке локального минимума, причем Кроме того, Поэтому наименьшее значение на [0,2], равное , положительно, и, значит, Имеем

Вычисляя интеграл по частям, находим

Поэтому

б). Здесь на Имеем , и, следовательно, меняет знак. Найдем интервалы, где она положительна или отрицательна. Отыскивая корни уравнения находим значение поэтому при и при Искомая площадь равна:

Вычисляем неопределенный интеграл

Тогда

Задача 4.6. Вычислить площадь, ограниченную кривой в полярной системе координат.

Решение. Кривая определена для тех значений из интервала (или ), при которых выполняется условие Неравенство имеет решения или

. (8)

Области (8) принадлежат интервалу при значениях т.е.

Площадь вычисляется по формуле

Вычисляя неопределенный интеграл

находим

.

Задача 4.7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Согласно определению несобственного интеграла с бесконечным пределом имеем

.

Поскольку корнями трехчлена в знаменателе будут то

.

Методом неопределенных коэффициентов находим , откуда Поэтому

Значение несобственного интеграла равно

.

Задача 4.8. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной заданными линиями и имеющей поверхностную плотность

D:

Решение. Вид области показан на рисунке.

Y

8

y=8x²

X

0 D 1

y= -x

-2

Масса пластины запишется с помощью двойного интеграла

.

Сведем двойной интеграл к повторному интегралу

Задача 4.9. Вычислить с помощью тройного интеграла объем области V, ограниченной указанными поверхностями: V: y=8-2x², z=0, y=0, x=0, z=2x+y.