незачтенные работы не оформлять заново (если на необходимость этого не указано рецензентом). Исправленные решения задач приводятся в конце работы. 6 страница

в). Наша система эквивалентна

(прямой ход Гаусса совершен при нахождении рангов матриц и ).

Тогда

Задача 1.2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

С помощью элементарных преобразований матрицу приведем к трапециевидной форме

~ .

Следовательно, 2<3 и система имеет бесконечное множество решений, зависящих от 3-2=1 произвольной постоянной. Исходная система эквивалентна

Откуда .

Полагая (произвольной постоянной), имеем

, .

Задача 1.3. По координатам точек , , найти:

а). Модуль вектора

;

.

б). Скалярное произведение векторов и .

.

в). Проекцию вектора на вектор .

.

г). Координаты точки , делящей отрезок в отношении 1:3; . Следовательно:

Задача 1.4. Даны векторы Необходимо:

а). Найти модуль векторного произведения .

= ;

.

б). Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора и .

Условие коллинеарности двух векторов

Т.к. то вектора и неколлинеарны.

Условие ортогональности двух векторов

Т.к. то вектора неортогональны.

в). Вычислить смешанное произведение трех векторов

.

.

г). Проверить, будут ли компланарны три вектора

Вектора компланарны, если

Из пункта в) следовательно, эти векторы некомпланарны.

Задача 1.5. Даны четыре точки

Составить уравнения:

а). Плоскости

Уравнение плоскости по трем точкам имеет вид

, откуда .

б). Прямой

Уравнение прямой по двум точкам

откуда

в). Прямой , перпендикулярной к плоскости .

Из уравнения плоскости следует, что вектор || откуда уравнение имеет вид

г). Прямой , параллельной Значит, вектор и уравнение этой прямой имеет вид

д). Плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой

Вектор перпендикулярен искомой плоскости.

Значит, - ее уравнение, которое приводится к виду

е). Вычислить - угла между прямой и плоскостью .

; ;

.

ж). Косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью .

Вектор а вектор . Поэтому

.

Задача 1.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно прямой, проведенной через точки и

Найти вектор , перпендикулярный искомой плоскости. Вектор и следовательно, в качестве вектора можно взять

; ;

Тогда уравнение искомой плоскости которое приводится к виду

Задача 1.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и перпендикулярно первой прямой. Найдем точку :

Вектор параллелен искомой прямой. Поэтому ее уравнение запишем как оно приводится к виду

Задача 1.8. Определить вид поверхности и построить ее.

а) . Приведем уравнение к каноническому виду

Получим уравнение однополостного гиперболоида, ось которого совпадает с полуоси эллипса в плоскости Y0Z равны и Построим поверхность.

Z

Y

X

б)

Приведем уравнение к каноническому виду .

Это уравнение конуса второго порядка, ось которого совпадает с осью 0Z.

Z

Y

X

4.2. Решение типового варианта контрольной работы N 2

Задача 2.1. Найти , если , , .

Решение. а). Для имеем

.

б). Для .

.

в). Для .

.

Задача 2.2. Найти , если

Решение

а).

б). Дифференцируя уравнение для , имеем

,

откуда

.

Дифференцирование последнего соотношения дает

.

Внося выражение для , находим

.

в). Первая производная заданной параметрически функции вычисляется по формуле

.

Здесь

,

откуда

.

Вторую производную вычислим по формуле

.

Задача 2.3. Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. а). Искомый предел является неопределённостью типа

По правилу Лопиталя

.

б). Предел является неопределённостью вида поэтому вначале его надо преобразовать к виду или :

.

К последнему (типа ) можно применять правило Лопиталя:

.

Полученный предел вновь является неопределенностью поэтому повторное применение правила дает

.

в). Предел является неопределенностью вида к которой удобно применять следующий прием. Обозначим

.

Тогда

. (1)

Вычислим вспомогательный предел

.

Искомый предел согласно (1) равен

.

Задача 2.4. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Областью определения является вся действительная ось . Для отыскания участков монотонности находим

.

Тогда при (интервал возрастания), при (интервал убывания). Точка является стационарной, поскольку При переходе через производная меняет знак с плюса на минус, поэтому при функция имеет локальный максимум.

Для отыскания участков выпуклости используется вторая производная

.

При или будет и функция вогнута; при и функция выпукла.

Вертикальных асимптот функция не имеет. Для отыскания наклонных асимптот вычислим

.

Поэтому при функция имеет асимптоту

Результаты исследования с учетом четности функции показаны на графике

Y

2

1

X

О