Методы решения СЛУ

10.2.1 Решение системы с помощью обратной матрицы

Этот метод может быть применен для решения систем когда m = n. В этом случае основная матрица системы А – квадратичная порядка n.

Если при этом определитель |А| ≠ 0, т.е. квадратная матрица А – невырожденная, то она имеет единственную обратную матрицу.

Рассмотрим систему вида (1), записанную в матричной форме:

А ∙ Х = В

А^-1 ∙ А ∙ Х = А^-1 ∙ В

Е ∙ Х = А^-1 ∙ В

Х = А^-1 ∙ В

Х = (α₁; α₂; …; α _n) – вектора решения

х ₁ = α₁

х ₁ = α₁

......

х_n = α _n

10.2.2 Решение систем линейных уравнений с помощью определителей.

Применяется при условии m = n.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений, у которой n уравнений и n неизвестных. Такой определитель называют основным определителем системы.

Составим вспомогательные определители для данной системы следующим образом:

Δ₁ – определитель, который получается из основного определителя заменой его первого столбца столбцом свободных членов системы.

...................

Неизвестные данной системы можно найти по формуле Крамера:

; ; …; .

1) Если основной определитель системы отличен от нуля, то такая система уравнений имеет единственное решение – она совместна и определенна, и это решения находят по формуле Крамера;

2) Если основной определитель системы равен нулю, то система уравнений может быть совместной неопределенной (∞ решений) или несовместной (не имеет решений):

а) Если основной определитель системы равен нулю и все вспомогательные определители равны нулю, то система уравнений имеет ∞ решений;

б) Если основной определитель системы равен нулю и хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, то система – несовместна.

Рассмотрим случай 2 а, т.е. Δ = 0; Δ₁, Δ₂, …, Δ _n = 0.

Тогда исключают одно из уравнений данной системы (оно является следствием других уравнений системы). Затем выделяют основные переменные (базисные) и свободные переменные, которые могут принимать любые значения из множества действительных чисел.

Если какие-то векторы полученной системы будут линейно независимыми, значит они образуют базис, а следовательно переменные при этих векторах также будут базисными.

Набор переменных, входящих в базис, может быть разным, а количество базисных переменных в каждом наборе – одно и то же.

Иначе за базисные переменные можно принять такие переменные, при которых определитель, составленный из коэффициентов при данных переменных, отличен от нуля.

После того, как выбраны базисные переменные, их выражают в рассматриваемой системе через свободные переменные. Полученная при этом СЛУ и будет являться общим решением исходной системы.

Если свободным переменным придавать любые значения из множества действительных чисел, то будем получать частные решения исходной системы в виде векторов, и таких векторов будет бесконечное множество.

Базисным решением исходной таблицы будет являться вектор, у которого все свободные переменные равны нулю, а базисные переменные равны свободным членам системы общего решения.

Базисное решение называется допустимым, если все координаты вектора базисного решения не отрицательны.