Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Виды матриц. Ранг матрицы



Любая таблица, состоящая из чисел, записанных в определенном порядке, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размерности m × n; число aij – элемент матрицы.

Способы задания матриц:

А n – матрица-строка

А m – матрица-столбец

Матрица, все элементы которой – нули – нулевая матрица.

Если mn, матрица – прямоугольная;

если m > n, матрица – укороченная;

если m < n, матрица – удлиненная;

если m = n, матрица – квадратная.

|A| – определитель матрицы.

Размерность квадратной матрицы называется ее порядком.

Если определитель квадратной матрицы ≠ 0, то такая матрица – невырожденная (неособенная);

Если определитель квадратной матрицы = 0, то такая матрица – вырожденная (особенная).

Квадратная матрица вида

где а 11, а 22, …, аnn – элементы, распределенные по главной диагонали, называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица, все элементы которой по главной диагонали равны 1, называется единичной матрицей (E n).

Любое число можно считать матрицей первого порядка.

Если у матрицы переставить местами столбцы со строками, то такая операция называется транспонированием матрицы.

Ат – транспонированная матрица.

|А| = |Ат| (если А – квадратная)

т)т = А

Квадратная матрица называется симметрической, если А = Ат, т.е. aij = aji для любых i и j.

Элементы симметрической матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Квадратная матрица называется ортогональной, если ее столбцы образуют ортонормированную систему векторов.

Рассмотрим матрицу А = (aij), i = 1, m; j = 1, n.

Из этой матрицы можно образовать квадратные матрицы. Определители таких матриц называют минорами данной матрицы. Порядок этих миноров не превышает min (m, n).

Пример:

Для матрицы А5×4 наибольший порядок минора ≤ 4.

– квадратная матрица 3 порядка:

9 миноров 1 порядка;

9 миноров 2 порядка;

1 минор 3 порядка;

Рангом матрицы называется максимальный порядок миноров матрицы, отличных от нуля.

Если ранг матрицы r(A) = r, то по крайней мере один из миноров этой матрицы порядка r отличен от нуля, и все миноры более высоки порядков (если они существуют) равны 0.

Ранг матрицы можно вычислить следующими методами:

1) Метод окаймляющих миноров

2) Метод, основанный на элементарных преобразованиях матрицы

Рассмотрим первый метод.

r(A) может принимать значения 1, 2, 3.

Выбираем минор первого порядка:

М1 = -3

Составляем М2, окаймляющий М1 ≠ 0

= 21 ≠ 0

=> r(A) = 2 или 3.

Составляем М3, окаймляющий М2 ≠ 0

≠ 0

=> r(A) = 3

Базисным минором матрицы называется минор, не равный нулю, порядок которого равен рангу данной матрицы.

называется трапецеидальной.

Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований можно превратить в трапецеидальную. Ранг трапецеидальной матрицы равен числу ненулевых строк.

Т.к. элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга, то для отыскания ранга любой матрицы нужно:

1) Преобразовать данную матрицу в трапецеидальную;

2) Подсчитать число ненулевых строк

3) Ранг трапецеидальной матрицы будет равен рангу данной матрицы.





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 398 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...