Системы линейных уравнений, методы их решения

Основные понятия

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

x_j – неизвестное системы;

a_ij – коэффициент при неизвестном;

j = 1, n;

i = 1,m;

b_i – свободный член; i = 1, m.

Рассмотрим различные формы записи системы (1):

а) Краткая запись

(1`)

б) Матричная форма записи

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных:

– основная матрица системы (1).

Составим матрицу-столбец неизвестных системы

и матрицу-столбец свободных членов

Тогда матричная форма записи системы (1) имеет вид:

А ∙ Х = В

в) Векторная форма записи (1``)

Рассмотрим следующие векторы-столбцы системы (1) вида:

Х = (x₁, x₂, x₃, …, x_n) – n переменных.

Составим линейную комбинацию векторов условий вида:

А₁ ∙ х ₁ + А₂ ∙ х ₂ + … + А _n ∙ х_n

где х ₁, х ₂, …, х_n коэффициенты системы (1).

Линейная комбинация векторов – новый вектор, т.е. система (1) в векторной форме имеет вид:

А₁ ∙ х ₁ + А₂ ∙ х ₂ + … + А _n ∙ х_n = (1```)

Решить систему линейных уравнений значит найти ее решения, или убедиться, что их нет.

Решением системы линейных уравнений (СЛУ) называется такой вектор
(α₁; α₂; …; α _n), координаты которого обращают в тождество каждое уравнение системы, если в каждое уравнение системы подставить вместо

Х₁ – α₁, Х₂ – α₂, …, Х _n – α _n.

Система уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение (одно или ∞).

СЛУ называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совокупная система уравнений может иметь одно решение (совместная и определенная) или бесконечное множество решений (совместная и неопределенная). Случай, когда решений конечное множество невозможен.

Две системы называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.