Методические указания. Метод золотого сечения является последовательным методом минимизации

Метод золотого сечения является последовательным методом минимизации. Опираясь на свойства золотого сечения отрезка, этот метод использует найденные значения f(х) более рационально, чем метод деления отрезка пополам, что позволяет переходить к очередному отрезку, содержащему точку х* после вычисления одного, а не двух значений f(х). Деление отрезка на две неравные части так, что отношение длины всего отрезка к длине большей его части равно отношению длины большей части к длине меньшей части, называется золотым сечением этого отрезка.

Золотое сечение отрезка[ а; b ]осуществляется двумя точками:

(2.1)

причем x ₁ есть вторая точка золотого сечения отрезка [ а; х ₂],а х ₂ - первая точка золотого сечения отрезка [ х ₁; b ].

Зная одну из точек золотого сечения отрезка [а; b ], другую можно найти по одной из формул

(2.2)

Пусть f(x)Î Q[ а; b ]и требуется найти точку минимума функ­ции f(х) на [ а; b ]. Построим последовательности , следующим образом:

, если

(2.3)

если

где - первая и вторая точки золотого сечения отрезка .

Для определения чисел по найденным необходимо выполнить следующие операции:

1) найти одну из точек золотого сечения отрезка по известной другой точке , используя формулы (1.2);

2) вычислить значение f(х) во вновь найденной точке золотого сечения (значение в другой точке уже вычислено на одном из предыдущих шагов);

3) сравнить значения и и найти по формулам (1.3).

Таким образом, на каждом шаге требуется вычисление одного значения f(х). Положив , будет найдена точка минимума х* с точностью :

(2.4)

откуда следует, что число шагов п метода золотого сечения, обеспе­чивающее заданную точность ε нахождении точки х*, должно удовле­творять неравенству

(2.5)

Контрольные вопросы:

1 В чем заключается принцип золотого сечения?

2 Каким образом выбираются точки х1 и х2?

3 За счет чего сходимость метода быстрее чем в методе деления пополам?

4 Какое условие выхода при использовании метода деления пополам?

5 Какие преимущества и недостатки можно выделить при нахождении минимума (максимума) функции методом золотого сечения, используя Microsoft Excel?

Пример выполнения задания

Найти минимум унимодальной функции f(x) методом золотого сечения с точность e = 0,001.

(2.6)

Для этого необходимо сначала локализовать минимум функции, следует пользоваться графиком 2.1:

Рисунок 2.1 – График заданной функции

На графике минимум функции находится на отрезке [0.1;0.95].

Применим метод золотого сечения к функции на отрезке [0.1;0.95] с точность e = 0,001.

Таблица 2.1 – Вспомогательные расчеты для метода золотого сечения

n	an	bn	εn	x1n	x2n	f(x1n)	f(x2n)
	0,1	0,95	0,85	0,424671	0,625329	-0,60120	-0,60383
	0,424671	0,95	0,32467111	0,625329	0,749342	-0,60383	-0,49127
	0,424671	0,749342	0,124013329	0,548684	0,625329	-0,62678	-0,60383
	0,424671	0,625329	0,047368877	0,501316	0,548684	-0,62564	-0,62678
	0,501316	0,625329	0,018093301	0,548684	0,57796	-0,62678	-0,62178
	0,501316	0,57796	0,006911026	0,530591	0,548684	-0,62766	-0,62678
	0,501316	0,548684	0,002639777	0,519409	0,530591	-0,62738	-0,62766
	0,519409	0,548684	0,001008305	0,530591	0,537502	-0,62766	-0,62752
	0,519409	0,537502	0,000385138
x*	0,528456	f(x*)	-0,627652441

Из таблицы 2.1 видно, что на восьмом шаге метода золотого сечения для данной функции достигается заданная точность.

Задание

Найти минимум унимодальной функции f(x) методом деления пополам и методом золотого сечения. e = 0.001