Методические указания. Пусть известно начальное приближение х0 корня уравнения

Пусть известно начальное приближение х ₀ корня уравнения. Метод Ньютона заключается в построении итерационной последовательности

, (14)

сходящейся к корню уравнения х *.

Сформулируем достаточные условия сходимости метода. Пусть функция f определена и дважды дифференцируема на отрезке [ a; b ]: f ÎC²[ a; b ], причем на концах отрезка она принимает значения разных знаков , а производные и не меняют знак на отрезке [ a; b ]. Тогда, исходя из начального приближения х ₀, удовлетворяющего неравенству , можно построить указанную итерационную последовательность, сходящуюся к единственному на этом отрезке корню функции f.

Рис. 1 – графическое представление метода Ньютона

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Очередное приближение представляет собой абсциссу точки пересечения касательной к графику функции в точке с осью ОХ. Для оценки погрешности приближения можно воспользоваться неравенством:

, (15)

где .

Если по каким-либо причинам невозможно каждый раз считать производные и значения функций в точках, то допустимо каждый раз вместо брать , т.е. производную в начальной точке. В этом случае вместо касательной в точке проводится прямая, параллельная касательной в точке х ₀. Скорость сходимости при этом несколько замедляется.

Метод Ньютона обеспечивает высокую точность и, как правило, используется для уточнения решения, найденного каким-либо другим методом. Он эффективен, если в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. Если же значение производной вблизи корня мало, то процесс сходимости замедляется.