Методические указания. Многочлен Лагранжа строится в том случае, когда аналитический вид функции f(x) неизвестен

Многочлен Лагранжа строится в том случае, когда аналитический вид функции f(x) неизвестен. Для аппроксимации достаточно знать значения f(x) в некоторых точках x_i.

Пусть есть f(x) и f_i=f(x_i), т.е. значения известны. Построим многочлен степени <=n такой, чтобы его значения в точках x_i совпадали со значениями функции в этих точках: L _n(x _i)=f(x _i). Т.е. интерполируем функцию f(x), а точки x_i называются узлами интерполяции.

Если точка x лежит вне пределов отрезка, содержащего x_i, тогда процесс называется экстраполяцией.

Теорема: Многочлен L_n, удовлетворяющий условию L_n(x_i)=f(x_i), существует и единственен.

, (16)

где - многочлен степени n.

L _n(x) - интерполяционный многочлен Лагранжа.

- лагранжевы коэффициенты.

Задание

1 Найти многочлен Лагранжа для заданной функции;

2 Построить график исходной функции;

3 Построить график многочлена Лагранжа. Графически показать разность между исходной функцией и построенным многочленом.

4,465 3,9595 4,466 3,9762 4,467 3,9929 4,468 4,0096 4,469 4,0263   4,470 4,0430 4,471 4,0597 4,472 4,0764 4,473 4,0931 4,474 4,1098   4,475 4,1265 4,476 4,1432 4,477 4,1599 4,478 4,1766 4,479 4,1933   4,480 4,21 4,481 4,2267 4,482 4,2434 4,483 4,2601 4,484 4,283   4,485 4,2935 4,486 4,3102 4,487 4,3269 4,488 4,3436 4,489 4,4185   4,490 4,377 4,491 4,3937 4,492 4,4104 4,493 4,4271 4,494 4,4452   4,495 4,4605 4,496 4,4772 4,497 4,4939 4,498 4,5106 4,499 4,6136   4,500 4,544 4,501 4,5607 4,502 4,5774 4,503 4,5941 4,504 4,6108

4,505 4,6275 4,506 4,6442 4,507 4,6609 4,508 4,6776 4,509 4,6943   4,510 4,711 4,511 4,7277 4,512 4,7444 4,513 4,7611 4,514 4,7778   4,514 4,7945 4,515 4,8112 4,516 4,8279 4,517 4,8446 4,518 4,8613   4,519 4,878 4,520 4,8947 4,521 4,9114 4,522 4,9281 4,523 4,9448   4,524 4,9615 4,525 4,9782 4,526 4,9949 4,527 5,0116 4,528 5,0283   4,529 5,045 4,530 5,0617 4,531 5,0784 4,532 5,0951 4,533 5,1118   4,534 5,1285 4,535 5,1452 4,536 5,1619 4,537 5,1786 4,538 5,1953   4,539 5,212 4,540 5,2287 4,541 5,2454 4,542 5,2621 4,543 5,2788

4,544 5,2955 4,545 5,3122 4,546 5,3289 4,547 5,3456 4,548 5,3623   4,549 5,379 4,550 5,3957 4,551 5,4124 4,552 5,4291 4,553 5,4458   4,554 5,4625 4,555 5,4792 4,556 5,4959 4,557 5,5126 4,558 5,6547   4,559 5,546 4,560 5,5627 4,561 5,5794 4,562 5,5961 4,563 5,6128   4,564 5,6295 4,565 5,6462 4,566 5,6629 4,567 5,6796 4,568 5,6963   4,569 5,713 4,570 5,7297 4,571 5,7464 4,572 5,7631   4,574 5,7965 4,575 5,8132 4,576 5,8299 4,577 5,8466 4,578 5,9648   4,579 5,88 4,580 5,8967 4,581 5,9134 4,582 5,9301 4,583 5,9468

4,584 5,9635 4,585 5,9802 4,586 5,9969 4,587 6,0136 4,588 6,0303   4,589 6,047 4,590 6,0637 4,591 6,0804 4,592 6,0971 4,593 6,1138   4,594 6,1305 4,595 6,1472 4,596 6,1639 4,597 6,1806 4,598 6,1973   4,599 6,214 4,600 6,2307 4,601 6,2474 4,602 6,2641 4,603 6,2808   4,604 6,2975 4,605 6,3142 4,606 6,3309 4,607 6,3476 4,608 6,3643   4,609 6,381 4,610 6,3977 4,611 6,4144 4,612 6,4311 4,613 6,4478

Контрольные вопросы:

1 Дать определение аппроксимации?

2 Дать определение интерполяции?

3 Что такое узлы интерполяции?

4 Чем аппроксимация отличается от интерполяции?

5 Какие преимущества и недостатки можно выделить при нахождении многочлена Лагранжа, используя Microsoft Excel?

Пример выполнения задания

Даны 5 узлов интерполяции и значения функции в них. Необходимо воспользоваться формулой 16 и составить полином.

X	f(X)	Узлы						Ln(x)	f(x)-Ln(x)
4,51	4,711	х0	4,711	0,000	0,000	0,000	0,000	4,711	0,000
4,511			1,288	5,171	-2,595	1,041	-0,187	4,719	-4,719
4,511	4,728	х1	0,000	4,728	0,000	0,000	0,000	4,728	0,000
4,512			-0,184	2,216	3,336	-0,744	0,112	4,736	-4,736
4,512	4,744	х2	0,000	0,000	4,744	0,000	0,000	4,744	0,000
4,513			0,110	-0,739	3,336	2,232	-0,187	4,753	-4,753
4,513	4,761	х3	0,000	0,000	0,000	4,761	0,000	4,761	0,000
4,514			-0,184	1,034	-2,595	5,207	1,306	4,769	-4,769
4,514	4,778	х4	0,000	0,000	0,000	0,000	4,778	4,778	0,000

Построить графики функции и полинома.