Метод касательных

Если вычисление или измерение производных функции f(х) не представляет больших затруднений, то при решении задачи минимизации можно применять непрямые методы, основан­ные на использовании производных f(х). Во многих случаях эти методы обеспечивают более быструю сходимость, чем прямые методы минимизации.

Метод касательных применяется для минимизации выпуклых дифференцируемых функций. Функция f (х) называется выпуклой на отрезке [ а; b ],если

(5.1)

для произвольных х', х"Î [ а; b ]и .

Проверка условия (5.1) почти всегда вызывает затруднения, поэтому на практике используют следующий критерий выпуклости:

Для того, чтобы дважды дифференцируемая на отрезке [ а; b ] функция f(х) была выпуклой на отрезке [а; b], необходимо и доста­точно, чтобы f"[x)≥0 при всех хÎ[а; b].

Опишем метод касательных. Пусть f(х) - выпуклая дифферен­цируемая на отрезке [ а; b ]функция, причем . Построим последовательности , в соответствии с рекуррентными соотношениями

, (5.2)

при , (5.3)

при .

После п шагов полагаем . Требуемая точ­ность минимизации f(x) считается достигнутой, если производная f'(c) достаточно близка к нулю, т. е. | f'(c_п) | £ e, где e>0 - заданное число, характеризующее точность.

Метод касательных имеет простой геометрический смысл: вели­чина с_{n -1} из (5.2) - это абсцисса точки пересечения касательных к графику f(x), проведенных в граничных точках отрезка , как показано на рисунке 5.1а). Рисунки 5.1 б) и 5.1 в) поясняют формулы (5.3) для случаев и соответственно. Отрезок выби­рается так, чтобы x *Î .

а) б) в)

Рисунок 5.1 – Метод касательных

Если условие не выполняется, то

а) х*= а при f’ (а) > 0, f’ (b) > 0;

б) х*=b при f’ (а) < 0, f’ (b) < 0;

в) х*= а, если f'(a)=0, и х*=b, если f’(b)= 0.