Методические указания. Точные методы решения линейных систем применяются для систем относительно небольшой размерности (до 103)

Точные методы решения линейных систем применяются для систем относительно небольшой размерности (до 10³). Для решения систем больших размерностей применяются итерационные методы, в частности, метод простых итераций.

Метод состоит в том, что система уравнений преобразуется к виду , и ее решение находится как предел последовательности

(8)

Преобразовать систему к виду можно, выделив диагональные элементы:

(9)

Для сходимости метода простых итераций достаточно, чтобы выполнялось условие по какой-либо норме, согласованной с нормой векторов. Например, если норма вектора определяется следующим равенством:

, (10)

то согласованная с ней норма матрицы равна

. (11)

В частности, если матрица А исходной системы характеризуется диагональным преобладанием, т.е.

, (12)

то метод простых итераций для преобразованной системы будет сходиться.

В качестве условия окончания итерационного процесса можно вять условие

, (13)

где e - заданная погрешность приближенного решения