Правила дифференцирования. Если функции f и g дифференцируемы в точке то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ) этих функций

Если функции f и g дифференцируемы в точке то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ) этих функций, причем

Доказательство

а) По свойству предела суммы получаем Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: В частности, б) Функцию f · g можно записать в виде Но По свойству предела произведения получаем Используя доказанное равенство, получим, что Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим формулу в) Для доказательства этой формулы заметим, что Воспользовавшись свойством предела частного, получим После этого представим как произведение функций f и откуда и следует доказываемая формула.

Если f дифференцируема, то где также дифференцируема, причем

Доказательство этой формулы предоставляем читателю.

Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки причем то функция x = φ (y), обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y₀ = f (x₀), причем

Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x₀ и y₀ = f (x₀) соответственно, то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точке x₀, причем

Следствием этой теоремы является тот факт, что дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.

Если f (x) – четная функция, то – нечетная; если f (x) – нечетная функция, то – четная.

Пусть в окрестности точки t₀ определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные и Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем

ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и V(X) дифференцируемы в точке х0, то сумма (разность), произведение и частное этих функций (частное при условии V(X) ≠ 0) также дифференци­руемы в этой точке, причем справедливы следующие форму­лы: