Производная сложной функции. Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f(x) = sin x и заменить переменную x, скажем, на x² + ln x. Получится f(x) = sin (x² + ln x) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

f ’(x) = f ’(t) · t ’, если x заменяется на t(x).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

· Задача. Найти производные функций: f(x) = e^{2x + 3}; g(x) = sin (x² + ln x)

Решение. Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = e^x. Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t, f(x) = f(t) = e^t. Ищем производную сложной функции по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e^t)’ · t ’ = e^t · t ’

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f ’(x) = e^t · t ’ = e^{2x + 3} · (2x + 3)’ = e^{2x + 3} · 2 = 2 · e^{2x + 3}

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x² + ln x = t. Имеем:

g ’(x) = g ’(t) · t ’ = (sin t)’ · t ’ = cos t · t ’

Обратная замена: t = x² + ln x. Тогда:

g ’(x) = cos (x² + ln x) · (x² + ln x)’ = cos (x² + ln x) · (2x + 1/x).

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ:
f ’(x) = 2 · e^{2x + 3};
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos (x² + ln x).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

(xⁿ)’ = n · x^{n − 1}

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x^0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

· Задача. Найти производную функции:

Решение. Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

f(x) = (x² + 8x − 7)^0,5.

Теперь делаем замену: пусть x² + 8x − 7 = t. Находим производную по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t^0,5)’ · t ’ = 0,5 · t^−0,5 · t ’.

Делаем обратную замену: t = x² + 8x − 7. Имеем:

f ’(x) = 0,5 · (x² + 8x − 7)^−0,5 · (x² + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x² + 8x − 7)^−0,5.

Наконец, возвращаемся к корням:

Ответ: