![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f(x) = sin x и заменить переменную x, скажем, на x2 + ln x. Получится f(x) = sin (x2 + ln x) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.
Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:
f ’(x) = f ’(t) · t ’, если x заменяется на t(x).
Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.
· Задача. Найти производные функций: f(x) = e2x + 3; g(x) = sin (x2 + ln x)
Решение. Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = ex. Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t, f(x) = f(t) = et. Ищем производную сложной функции по формуле:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (et)’ · t ’ = et · t ’
А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:
f ’(x) = et · t ’ = e2x + 3 · (2x + 3)’ = e2x + 3 · 2 = 2 · e2x + 3
Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x2 + ln x = t. Имеем:
g ’(x) = g ’(t) · t ’ = (sin t)’ · t ’ = cos t · t ’
Обратная замена: t = x2 + ln x. Тогда:
g ’(x) = cos (x2 + ln x) · (x2 + ln x)’ = cos (x2 + ln x) · (2x + 1/x).
Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.
Ответ:
f ’(x) = 2 · e2x + 3;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos (x2 + ln x).
Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.
Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:
(xn)’ = n · xn − 1
Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.
· Задача. Найти производную функции:
Решение. Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:
f(x) = (x2 + 8x − 7)0,5.
Теперь делаем замену: пусть x2 + 8x − 7 = t. Находим производную по формуле:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t0,5)’ · t ’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.
Делаем обратную замену: t = x2 + 8x − 7. Имеем:
f ’(x) = 0,5 · (x2 + 8x − 7)−0,5 · (x2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x2 + 8x − 7)−0,5.
Наконец, возвращаемся к корням:
Ответ:
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 278 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!