Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

· Задача. Найти производные функций: f(x) = x³ · cos x; g(x) = (x² + 7x − 7) · e^x.

Решение. Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x) = (x³ · cos x)’ = (x³)’ · cos x + x³ · (cos x)’ = 3x² · cos x + x³ · (− sin x) = x² · (3cos x − x · sin x)

У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x) = ((x² + 7x − 7) · e^x)’ = (x² + 7x − 7)’ · e^x + (x² + 7x − 7) · (e^x)’ = (2x + 7) · e^x + (x² + 7x − 7) · e^x = e^x · (2x + 7 + x² + 7x −7) = (x² + 9x) · e^x = x(x + 9) · e^x.

Ответ:
f ’(x) = x² · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e^x.

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.