Производная

При некотором значении x функция имеет значение y = f (x). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M ₀(x, y). Если аргументу x датьприращение  x, то новому значению аргумента x +  x соответствует новое значение функции y+  y = f (x +  x). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M ₁(x +  x, y +  y). Если провести секущую M ₀ M ₁ и обозначить через угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, из рисунка непосредственно видно, что .

Если теперь  x стремится к нулю, то точка M ₁ перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M ₀, и уголизменяется с изменением  x. При x  0 угол  стремится к некоторому пределу  и прямая, проходящая через точку M ₀ и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол , будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

.

Следовательно, f ´(x) = tg

т.е. значение производной f ´(x) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f (x) в соответствующей точке M ₀(x, y) с положительным направлением оси Ox.