Свойства дисперсий

1. Дисперсия постоянной величины равна, т.е. если С постоянная величина, то .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, но возводя его при этом в квадрат, т.е. если k – постоянный множитель, то .

3. Если все значения случайной величены увеличить или уменьшить на одно и то же число С, то дисперсия не изменится .

4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. .

5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. .

6. Дисперсия случайной величины равна ожиданию квадрата ее без квадрата ее математического ожидания,т.е. .

- средним квадратическим отношением G(X) (G) случайной вершины называется арифметическим значением корня квадратного из дисперсии, т.е.

Основные понятия и определения математической статистики.

- Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных, полученных в результате наблюдений. Двумя основными задачами математической статистики являются:

- определение способов сбора и группировки этих статистических данных;

- разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования, к которым относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других случайных величин и т.д.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного распределения.

Для решения этих задач необходимо выбрать из большой совокупности однородных объектов ограниченное количество объектов, по результатам изучения которых можно сделать прогноз относительно исследуемого признака этих объектов.

Определим основные понятия математической статистики.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности.

Виды выборки:

П овторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

19. Эмпирическая функция распределения F*(x)и ее св-ва.Полигон частот,гистограмма.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения:

– число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее ;

– общее число наблюдений (объем выборки).

Ясно, что относительная частота события равна .

Если будет изменяться, то будет изменяться и относительная частота, то есть относительная частота есть функция от .

Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события .

Итак, по определению , где – число вариант, меньших , – объем выборки.

Из определения функции вытекают следующие ее свойства:

1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку ;

2) – неубывающая функция;

3) если – наименьшая варианта, то , при ; если – наибольшая варианта, то при . Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

- Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты и соединяют точки отрезками прямых. Полигон относительных частот строится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты . В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала – сумму частот вариант, попавших в i–й интервал.

- Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии (высоте) . Площадь i–го прямоугольника равна – сумме частот вариант i–о интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

20.Точечные оценки параметров распределения:несмещенные и смещенные оценки для генеральной средней и генеральной дисперсии(формулы).

Точечной оценкой характеристики θ называют некоторую функцию результатов наблюдений, значения которой близки к неизвестной характеристике θ генеральной совокупности.

Для построения оценки нужны критерии, по которым судят о её качестве. Сформулируем некоторые свойства, позволяющие разумным образом выбирать оценки.

1. Оценка называется несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемой характеристике случайной величины: ,

2. Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Точечные оценки представляют собой определенные значения параметров генеральной совокупности, полученные по выборочным данным. Эти значения должны быть максимально близки к значениям соответствующих параметров генеральной совокупности, которые являются истинными значениями оцениваемых параметров.

При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров.

Начнем с точечных оценок и рассмотрим оценку произвольного параметра (среднего, дисперсии или какого-то другого) генеральной совокупности, который обозначим a. Оценивая параметр aпо выборке, находим такую величину a_В, которую принимаем за точечную оценку параметра a. Естественно, при этом стремимся, чтобы оценка была в определенном смысле наилучшей, поэтому к ней предъявляется ряд требований:

1. Состоятельность. Точечная оценка a_В называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки ( ) она стремится к истинному значению параметра a.

В математической статистике показывается, что состоятельной оценкой генерального среднего значения , является выборочное среднее арифметическое , а состоятельной оценкой генеральной дисперсии — выборочная дисперсия . Методы вычисления этих выборочных характеристик были рассмотрены в гл. 3.

2. Несмещенность. Оценка a_В называется несмещенной, если она не содержит систематической ошибки, т. е. среднее значение оценки, определенное по многократно повторенной выборке объема n из одной и той же генеральной совокупности, стремится к истинному значению соответствующего генерального параметра a.

Выборочное среднее арифметическое является несмещенной оценкой генерального среднего .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия, вычисляемая по формуле:

для несгруппированных данных,

для сгруппированных данных.