Понятие функции нескольких переменных, частные производные, полный дифференциал, экстремум функции нескольких переменных

- Если каждой совокупности значений "n" переменных

из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция

"n" переменных.

Множество D, указанное в определении 1.1, называется областью определяния или областью существования этой функции.

Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел

обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f (x, y) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.

- Если существует предел , то он называется частной производной функции Z=f(M) в точке М по переменной х (по переменной у) и обозначается одним из следующих символов:

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной х представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной х при фиксированном значении переменной у. Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной.

- Пусть на области D задана функция двух переменных z =f(х,у), M₀(x₀;y₀) - внутренняя точка области D, M(x₀+Δx;y+Δy) - "соседняя" с M₀ точка из D.

Рассмотрим полное приращение функции:

Если Δz представлено в виде:

где A, B - постоянные (не зависящие от Δx, Δy), - расстояние между M и M₀, α(Δ x,Δy) - бесконечно малая при Δx 0, Δy 0; тогда функция z =f(х,у) называется дифференцируемой в точке M₀, а выражение

называется полным дифференциалом функции z =f(х;у) в точке M₀.

- Точка называется точкой максимума (минимума)

функции (х, у), если

Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами.

2. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Функция F (x) называется первообразной функции f (x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f (x) называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.