Монотонность интеграла

Теорема 12 (одна общая оценка интеграла). Если a 6 b и f ∈R[a; b], то |f| ∈R[a; b] и справедливо неравенство

Если при этом f(x) 6 C на [a; b], то

Доказательство. При a = b утверждение тривиально, поэтому будем считать, что a < b.Для доказательства теоремы прежде всего следует убедиться, что |f(x)| интегрируема, если f(x) интегрируема.Последнее легко следует из очевидного условия

Далее дадим оценку интегральной суммы

Переходя к пределу при |τ | → 0, получаем

Теорема 13 (монотонность интеграла). Если a ≤b, f1, f2 ∈R[a; b] и f1(x) ≤f2(x) в любой точке x ∈[a; b], то

Доказательство. При a = b утверждение тривиально. Если же a < b, то достаточно записать для интегральных суммнеравенство справедливое, поскольку △ >0, i = 1до n, и затем перейти в нем к пределу при |τ | → 0.