Аддитивность интегралов

Лемма 1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то она интегрируема на любом отрезке [c; d], содержа-

щемся в отрезке [a; b].

Доказательство. Прежде всего, если функция f(x) ограничена на отрезке [a; b], то она, очевидно, ограничена и наотрезке [c; d].

Далее, каково бы ни было разбиение τ’ = отрезка [c; d] ⊂[a; b] диаметра |τ ′|, его всегда можно продолжить вразбиение τ = отрезка [a; b] такого же диаметра: для этого достаточно добавить к точкам , i = 1 до n′ конечноечисло соответствующим образом выбранных точек принадлежащих отрезку [a; b], но не принадлежащих отрезку [c; d].

Полагая

и замечая, что каждое слагаемое суммы является и слагаемым суммы и что все

слагаемые обеих сумм неотрицательны, имеем

Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a; b ], то, . Но поскольку |τ | = |τ ′|, то из предыдущегонеравенства следует, что

Отсюда и следует интегрируемость f(x) на [c; d].

Теорема 11. Если a < b < c и f ∈R[a; c](функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a; c]), то ∈R[a; b], ∈R[b; c],и имеет место равенство

Доказательство. Если τ1 - разбиение отрезка [a; b] с диаметром |τ1|, τ2 - разбиение отрезка [b; c] с диаметром |τ2|, то τ = τ1 ∪τ2 явл. разбиением отрезка [a; c] с диаметром |τ | = max {|τ1|, |τ2|}. Тогда для интегральных сумм функцииf(x) и ее сужений , выполнено равенство + =

Так как f(x) интегрируема на [a; c], то согласно лемме 1, , интегрируемы на [a; b] и [b; c] соответственно.Переходя в (2.13) к пределу при |τ | → 0 получим равенство (2.12).

Равенство (2.12) выражает аддитивность интегралов.

Из теоремы 11 непосредственно следует