Замена переменной в определенном интеграле. Теорема 21. Если ϕ : [α; β] → [a; b] - непрерывно дифференцируемое отображение отрезка α ≤ t 6 ≤ в отрезок

Теорема 21. Если ϕ: [α; β] → [a; b] - непрерывно дифференцируемое отображение отрезка α ≤ t 6 ≤ в отрезок

a ≤ x 6 ≤ такое, что ϕ(α) = a и ϕ(β) = b, то при любой непрерывной на [a; b] функции f(x) функция f(ϕ(t)) · ϕ’(t) непрерывна на отрезке [α; β] и справедливо равенство

(4.23)

Доказательство. Пусть F(x) - первообразная функции f(x) на [a; b]. Тогда по теореме о дифференцировании композиции функций, функция F(ϕ(t)) является первообразной для функции f(ϕ(t)) · ϕ’(t), непрерывной, как композиция и произведение непрерывных функций на отрезке [α; β]. По формуле Ньютона-Лейбница

Но по условию, ϕ(α)=a, ϕ(β)=b, т.е. равенство (4.23) имеет место.

Теорема 21’. Пусть ϕ: [α; β] → [a; b] - непрерывно дифференцируемое, строго монотонное отображение отрезка

α≤t≤β в отрезок a≤x≤b с соответствием концов ϕ(α) = a, ϕ(β) = b или ϕ(α)=b, ϕ(β)=a. Тогда при любой функции f(x), интегрируемой на отрезке [a; b], функция f(ϕ(t)) · ϕ’(t) интегрируема на [α; β] и справедливо

.