Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 20 (основная теорема интегрального исчисления). Если f ∈ C[a;b] и Φ(x) любая первообразная функции f(x) на [a; b], то

Доказательство. Из условия следует, что функция f(x) имеет первообразную. Все множество первообразных дается формулой Значит имеем

Полагая x = a, получим C = Φ(a), откуда

Полагая в последнем выражении x = b, получим формулу совпадающую с (3.22) с точностью до обозначения переменной интегрирования. Формула (3.22) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Для дальнейших приложений расширим понятие первообразной.

Определение 1. Непрерывная на числовом промежутке функция Φ(x) называется первообразной (обобщенной первообразной) функции f(x), определенной на том же промежутке, если во всех точках промежутка, за исключением, может быть, конечного их числа, имеет место соотношение Ф’(x)=f(x).

Теорема 19’. Каждая определенная и ограниченная на отрезке [a;b] функция f(x) с конечным множеством точек разрыва имеет на этом отрезке (обобщенную) первообразную, причем любая первообразная функции f(x) на [a;b] имеет вид (3.21).

Доказательство. Поскольку f(x) имеет конечное множество точек разрыва, то f∈R[a;b] и, следовательно, функция F(x) является обобщенной первообразной для f(x) на [a;b]. При этом заметим, что F(x) непрерывна на [a;b]. Если Φ(x) другая первообразная функции F(x) на [a; b], то Φ(x) − F(x) - непрерывная функция, постоянная на каждом из конечного числа промежутков, на которые точки разрыва функции f(x) разбивают отрезок [a; b]. Из непрерывности Φ(x) − F(x) на [a;b] тогда следует, что Φ(x) −F(x) ≡ const на [a;b].

Теорема 20’. Если f: [a; b] → R - ограниченная функция с конечным числом точек разрыва, то f∈R[a; b] и

где Φ(x) -любая из первообразных функции f(x) на отрезке [a;b].