Теорема о среднем для интеграла

Теорема 15 (Первая теорема о среднем для интеграла). Пусть f, g ∈ R[a; b], m =

Если функция g(x) неотрицательна (или не положительна) на отрезке [a; b], то

(1)

где µ ∈ [m;M]. Если, кроме того, известно, что f ∈ C[a; b], то найдется ξ ∈ [a; b] такая, что

(2)

Доказательство. Поскольку перестановка пределов интегрирования приводит к изменению знака одновременно в обеих частях равенства (1), то достаточно проверить это равенство в случае a < b. Изменение знака функции g(x) тоже одновременно меняет знак обеих частей равенства (1), поэтому без ограничения общности доказательства будем считать, что g(x) 0 на [a; b].

Поскольку то при g(x) 0 имеем

Поскольку m · g ∈ R[a; b], f · g ∈ R[a; b], M · g ∈ R[a; b], то, применяя теорему 13, получим

Если то, как видно из этих неравенств,

соотношение (1) выполнено. Если же

то полагая

находим, что µ ∈ [m;M], но это равносильно соотношению (1). Равенство (2) следует из (1) из теоремы о промежуточном значении для функции f ∈ C[a; b], с учетом того, что в случае

f ∈ C[a;b]