Критерий Коши интегрируемости функций

Теорема 2. Для того, чтобы функция f(x) была интегрируема на отрезке [a; b], необходимо и достаточно, чтобы для любого ε> 0 существовало такое δ> 0, что, каковы ни были разбиения τ’= {x’_i}i=n’ i=0 и τ’’= {x’’_i}i=n’’ i=0 диаметра меньше δ, т.е. |τ’| <δ, |τ’’| <δ и точки ξ’_i∈ [x’_i−1; x’_i], i = 1, n’, ξ’’_j∈ [x’’_j−1; x’’_j ], j = 1, n’’, выполнялось неравенство

Доказательство. Если функция f(x) интегрируема, то существует предел (1.1), то есть для любого ε> 0 существует такое δ> 0, что для любого разбиения τ = {x_i}i=ni=0 диаметра меньше δ, т.е. |τ | <δ, и при любом выборе точек

ξ_i∈ [x_i−1; x_i], i = 1, n для интегрируемых сумм σ_τ выполняется неравенство Если теперь σ’ и σ’’ две такие интегральные суммы, что |τ ‘| <δ, |τ’’| <δ, то