Достаточное условие интегрируемости функции. Пусть Число ω(f,E) называется колебанием функции f(x) на E

Пусть Число ω(f,E) называется колебанием функции f(x) на E. Если τ = {x_i}i=ni=0 разбиения отрезка [a; b], E_i = [x_i−1; x_i], то называется интегральным колебанием функции f(x) на [a; b].

Теорема 3 ( достаточное условие интегрируемости). Чтобы ограниченная функция f(x) на [a; b] была интегрируемой на [a; b] достаточно, чтобы для любого ε> 0 существовало δ> 0, что для любого разбиения τ = {x_i}i=ni=0 диаметра |τ | <δ выполнялось условие

Доказательство. Рассмотрим разбиение τ = диаметра |τ | < δ и построим интегральную сумму =

Рассмотримдалее разбиение τ ′ = { } - продолжение разбиения τ Точки разбиения τ ′ снабжаем двумя индексами.

Первый индекс означает, что точка принадлежит отрезку , второй индекс - номер точки на этом отрезке. При этом

если отрезок делится на отрезков, то можем записать

△ =△ .

Образуем ; тогда

Поскольку , принадлежат ,то . Значит

Итак, для данной интегральной суммы и её продолжения выполнено условие Коши если имеет место условие (1.5).

Пусть теперь τ1 и τ2 два произвольных разбиения диаметров |τ1| и |τ2| меньших δ. Пусть τ ′ есть объединение

разбиений τ1 и τ2, т.е. τ ′ = τ1 ∪τ2. Очевидно, что τ ′ есть как продолжение разбиения τ1, так и продолжение разбиения

τ2.

Тогда если выполнено условие вида (1.5), то можем записать а тогда

Согласно критерия Коши функция f (x) интегрируема на [a; b].