Непрерывность элементарных функций

Постоянная функция. Функция f(x) = C, где C = const, ∀x ∈ X непрерывна в любой точке x0, поскольку = =С=f(x₀). Многочлены и рациональные функции.Функция P_n(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹+... + aⁿ⁻¹x + aⁿ,где a_i, i = 0, n – действительные числа, называется многочленом от x степени n.Докажем сначала непрерывность функции f(x) = a_kx^k в любой точке x ∈ R. Согласно биному Ньютона

Отсюда заключаем, что функция f(x) = a_kx^k непрерывна в любой точке x∈R. Тогда многочлен P_n(x) является непрерывной функцией в любой точке x∈R как сумма непрерывных функций вида a_kx^k, k = 0, n. Рациональной называется функция вида

где P_n(x), Q_m(x) – многочлены степеней n и m cоответственно. Рациональная функция во всех точках, в которых Q_m(x) не обращается в нуль, непрерывна как отношениедвухнепрерывных функций.

Тригонометрические функции: Докажем непрерывность функции f(x) = sin x в любой точке x ∈ R. Имеем

так как Отсюда следует, что если | x| < δ = ε, то и | sin x| < ε, т.е. sin xнепрерывная функция в любой точке x ∈ R.Аналогично доказывается непрерывность функции cos x в любой точке x ∈ R.Функция tg x = непрерывна в точках, где x + πn, n ∈ Z. Функция ctg x = непрерывна, если x πn,n ∈ Z.

Степенная функция f(x) = x^a. Непрерывность этой функции при x> 0 вытекает из непрерывности сложной функции и представления x^a = e^alnx. Если же функция x^a имеет смысл и для x < 0 (например, x⁴,³√x), то при a > 0 она будет непрерывной для ∀x ∈ R, апри a < 0 – для всех x ∈ R кроме x 0.