![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1. Функция f(x) называется равномерно-непрерывной на множестве X ⊂ R, если для любого ε > 0найдется δ = δ(ε) > 0, такое, что для любых x1, x2∈ X, удовлетворяющих условию |x1−x2| < δ, выполняется неравенство|f(x1) − f(x2)| < ε.
Если f(x) равномерно-непрерывна на множестве X, то она непрерывна на множестве X. Чтобы в этом убедиться,достаточно положить x1 = x, x2 = x0. Тогда из определения равномерной непрерывности функции следует определениенепрерывной функции в точке x0. Обратное утверждение не всегда справедливо.
Теорема 8 (Кантора). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.Доказательство. Пусть f: X → R, и f ∈ C([a; b]), где X = [a; b]. Поскольку f(x) непрерывна в любой точке x ∈ X, топо ε > 0 можно найти такую δ-окрестность Vδ(x) точки x, что колебание ω(f, Vδ(x)), где
функции f(x) окажется меньше ε.Для каждой точки x ∈ X построим окрестность Vδ(x) обладающую этим свойством. Величина δ при этом может меняться от точки к точке, т.е. δ = δ(x). Интервалы Vδ/2(x), x ∈ X в совокупности образуют покрытие отрезкаX = [a; b], из которого по лемме о конечном покрытии можно выделить конечное подпокрытиеVδ/2(x1),..., Vδ/2(xn).
Пустьδ = min{ δ(x1),...,
δ(xn)}. Покажем, что для любых точек x’, x’’∈ X таких, что |x’− x’’| < δ выполнено|f(x’) − f(x’’)| < ε. Действительно, поскольку система интервалов Vδ/2(x1),..., Vδ/2(xn) покрывает X, то найдется интервал Vδ/2(xi) этой системы, который содержит точку x’ т.е. |x’− xi| <
δ(xi). Но в таком случае |x’’− xi|
|x’− x’’| + |x’− xi| <δ +
δ(xi) <
δ(xi) +
δ(xi) = δ(xi). Следовательно x’, x’’∈Vδ(xi)(xi) и потому |f(x’) − f(x’’)| ω(f, Vδ(xi)(xi))< ε.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 417 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!