Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя

8) Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,

Доказательство – проверкой.

9) det верхней треуг. матрицы = произведению диагональных эл-тов.

10) det A*B=detA*detB

10. Обратная матрица

Обр матр — такая матр A^-1, при умн-и на кот исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

AA⁻¹ = A⁻¹A = E

Теорема: для того, чтобы для кв.м.А сущ-ла обр, дост-но чтобы опр-ль этой м. был отличен от 0.(Кв матр обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, т.е. её опр-ль не равен 0. Для некв матриц обр матриц не сущ-т.)

Доказательство:

Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A^-1.

detA^-1*A=detE => detA≠ 0.

Достаточность.

по м.А строим А^*

где А^* - м. алгебраических дополнений А^*

транспонируем полученную матрицу: (А^*)^Т=

найдем А* (А^*)^Т=С, Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Действительно, например,

следовательно А* (А^*)^Т=detA*E => =>