Кв матрицы одного и того же порядка и одной и той же размерности всегда согласованны

Матрицы равны между собой, если равны их соответствующие элементы.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Матрица размера n·n - матрица n-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю – диагональная.

Диагональная матрица у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, единичная.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, - нулевая.(обозначается буквой О)

Матрица, содержащая один столбец или одну строку – вектор.

Умножение матрицы на число

Пусть задана матрица А=aij i=1,m; j=1,n; α принадлежит R. Чтобы умножить матрицу А на число α, нужно кадый Эл-т матрицы умножить на это число α.

С=(αaij)

Сложение матриц

Пусть заданы А=aij и В=bij одинаковой размерности i=1,m; j=1,n. Тогда суммой двух этих матриц называется матрица С=сij. Другими словами, нужно сложить соответствующие эл-ты. Кратко: С=А+В

Св-ва:

1. А+В=В+А

2. А+(В+С)=(А+В)+С

3. А+0=А

4. А-А=0

5. 1·А=А

6. α·(А+В)=αА+αВ

7. (α+β)·А=αА+βА

8. α·(βА)=(βα)·А

Умножение матриц

Матр А и В соглас-е, если число строк матр А равно числу столбцов матр В, и наоборот.

Оп-ция умн-я матриц определена только для соглас. матриц.

Кв матрицы одного и того же порядка и одной и той же размерности всегда согласованны.

Пусть задана матр А=aik i=1,m; k=1,n и матр В=bkj k=1,m; j=1,n. Тогда произв-ем А на В наз. матр С такая, что сik=ai1·b1k+ ai2·b2k +…+ ain·bnk, где i=1,m; k=1,n, т.е. эл-т i-той строки и k-того столбца матрицы произв-ия С равен ∑ произв-ий эл-ов i-той строки матр А на соответствующие эл-ты k-того столбца матр В.

Если выполняется равенство АВ=ВА, то матрицы А и В наз. перестановочными (коммутирующими)

Матр,получ. из данной заменой кажд ее строки столбц с тем же номером,наз. транспон-ой к данной.

Св-ва умножения:

1.А·(ВС)=(АВ)С

2. А(В+С)=АВ+ВС

3. (А+В)С=АС+ВС

4. α(АВ)=(αА)В

Св-ва транспонирования:

1.(А+В)^т=А^т+В^т

2. (АВ)^т=В·А^т

3. (А^т) ^т= А