Экстремум

Найти область определения функции f(x).

Найти первую производную функции f '(x).

Определить критические точки, для этого:

найти действительные корни уравнения f '(x)=0;

найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.

Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

Вычислить значение функции в точках экстремума.

Выпуклости

Найдём её первую и вторую производную:

Что бы найти, где вторая производная больше нуля, а где меньше, мы прировняем её к нулю и посмотрим на каких промежутках она больше, а на каких меньше:

Наносим точку x=0 на координатную прямую, и вычисляем соответствующие значения.

Точка перегиба
1. найти вторую производную

2. найти критические точки второго рода

3. исследовать знак второй производной в промежутках на которые найденые критические точки делять область определения функции

4. определить точки перегиба и найти значения в этих точках

Схема

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать непрерывность функции, выделить особые точки (точки разрыва).
3. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
4. Найти точки пересечения с осями координат.
5. Установить, является ли функция чётной или нечётной. Сделать выводы о симметричности графика функции.
6. Найти первую производную. Найти точки экстремума (локального минимума и максимума) и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
7. Найти вторую производную. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
8. Найти наклонные/горизонтальные асимптоты функции
9. Построить график функции. Построить асимптоты.